모든 입력에서 정지하지만 그 속성을 증명할 수없는 TM이 있습니까?

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모든 입력에서 멈추는 튜링 머신이 있지만 어떤 이유로 든 그 속성을 증명할 수 없습니까?

이 질문이 공부되었는지 궁금합니다. "불확실하다"는 "제한된"증명 시스템을 의미 할 수 있습니다 (약한 의미에서는 답이 '예'라고 생각합니다). 물론 가능한 가장 강력한 답변, 즉 ZFC 설정 이론 또는 기타 모든 입력에서 중단 될 수없는 답변에 관심이 있습니다.

Ackermann 기능에 대해서는 사실 일 수 있지만 자세한 내용은 흐릿합니다. Wikipedia가이 측면을 명확하게 설명하는 것 같지 않습니다.

— vzn
소스

3

Peano Arithmetic은 Ackermann의 기능이 총체적임을 증명하기에 충분합니다. 이것은 Jaap van Oosten의 PA 노트 소개 의 연습 17입니다 .

— David Richerby

총 계산 가능한 fn defn wikipedia. 이 질문은 collatz fn 을 살펴보면 부분적으로 동기가 부여된다는 점에 주목하십시오 . 관련 질문 :

— vzn

2

이것은 어리석은 말이지 만 모든 입력에서 종료되는 모든 Turing machine M의 경우 이론

는 일관된 이론입니다. 그러나 Gödels 정리를 사용 하면 그러한 모든 기계 의 종료를 증명할 수있는 단일 재귀 이론이 없다는 것을 알 수 있습니다 .

P A + " M terminates on all input"

$\mathrm{PA}+\mbox{"$M$ terminates on all input"}$

— 코디

12

예. 입력에서 시작 하여 Goodstein 시퀀스 를 계산 하고 시퀀스가 0에 도달 하면 종료됩니다. 항상 종료되지만 Peano 산술에서는 증명할 수 없습니다. ZFC 또는 다른 시스템과 동등한 것이 있다고 확신합니다.

편집 을 위해 ZF, 튜링 기계가 있다는 Hartmanis 및 Hopcroft 쇼 모든 입력을 거부하지만,이 ZF 입증 할 수 없다. ZF가 항상 정지 한다는 것을 확신 할 수 있는지는 확실하지 않지만 기계 " 이 를 받아들이 면 영원히 반복하면 정지한다" 는 것을 확실히 증명할 수는 없습니다 . 그것은 여전히 ZFC를 열어두고 있지만 ZF는 PA보다 강력합니다. $M$ $M$ $M'(x)$ $=$ $M$ $x$

섹션 참조. Hartmanis–Hopcroft 결과의 노출 및 원본 논문 인용에 대한 P = NP의 독립성에 대한 Scott Aaronson의 설문 조사 3 개 .

— 데이비드 리처 비
소스

선택 공리 추가에 관하여 : ZFC는 정지 문제와 같은 "단순한"진술에 대해 ZF보다 나을 수 없습니다 ( 실수하지 않은 경우

). ZF와 ZFC는 정확히 같은

진술을 증명하기 때문 입니다.

Π_{2}^{0}

$\Pi^0_2$

Π_{2}^{0}

$\Pi^0_2$

— 코디

6

최소한 "기본"산술만큼 강력하고 재귀 적으로 열거 가능한 이론 를 취하십시오 ( 모든 정리를 열거 할 수 있음 ). ${\cal T}$ ${\cal T}$

입력 다음과 같이 동작 하는 다음 기계 구성하십시오 . $M$ $n$

If there is no proof of 0 = 1 in less than n steps in T, ACCEPT
Otherwise, LOOP.

두 번째 불완전 성 정리를 사용하여 가 이 모든 입력에서 종료 된다는 것을 증명할 수 없다는 것을 보여주기는 쉽습니다 (일관성있는 경우). ${\cal T}$ $M$

이것은 물론 , , , ... 일관된 한 작동합니다. ${\cal T}=\mathrm{ZFC}$ ${\cal T}=\mathrm{PA}$ ${\cal T}=\mathrm{PA²}$

— 코디
소스

5

PA에서는 증명할 수 없지만 실제 이론은 Turing 머신으로 변환 할 수 있습니다. 예를 들어, PA에서 증명할 수없는 (강화 된 버전의) 램지 정리 가 있으며 올바른 검색하는 기계를 구성 할 수 있습니다 . $N$

— 다닐
소스