간단한 유한 정규 언어를위한 펌핑 보조

Wikipedia 에는 일반 언어에 대한 펌핑 보조 정리에 대한 다음 정의가 있습니다 ...

$L$ 정규 언어로 하자 . 이어서 정수 존재 $p$ ≥ 1에만 따라 $L$ 그러한 모든 문자열 것을 $w$ 에 $L$ 이상의 길이 $p$ ( $p$ 은 "펌핑 길이"라고한다)가과 같이 쓸 수있다 $w$ = $xyz$ , 즉 ( $w$ 분할 될 수 다음 조건을 만족하는 세 개의 하위 문자열로) :

1. | $y$ | ≥ 1
2. | $xy$ | ≤ $p$
3. 모든 $i$ ≥ 0, $xy^iz$ ∈ $L$

나는 이것이 단순한 유한 한 정규 언어에 대해 어떻게 만족되는지 알지 못한다. 알파벳 { $a,b$ } 및 정규 표현식 $ab$ 경우 $L$ 은 한 단어로 구성되며 뒤에는 b $a$ 옵니다 . 이제 내 정규 언어가 펌핑 보조를 충족시키는 지 확인하고 싶습니다 ...$b$

내 정규 표현식에서 반복되는 것이 없으므로 의 값은 $y$비어 있어야 조건 3이 모든 대해 만족됩니다 $i$. 그러나 그렇다면 $y$ 길이가 1 이상이어야한다는 조건 1에 실패 합니다!

대신 내가 할 경우 $y$ 일 수 , B 또는 B 다음은 조건 1을 만족하지만 실제로 자체를 반복하지 않기 때문에 조건 (3) 실패합니다.$a$$b$$ab$

나는 명백하게 명백한 무언가를 놓치고있다. 어느 것입니까?

당신은 옳습니다-유한 의 "펌핑"단어를 허용 할 수 없습니다 . 당신이 누락 된 것은 주가 숫자 p 가 있다고 말하지만 숫자를 알려주지 않는다는 것입니다.$L$$p$

p 보다 긴 모든 단어를 부수적으로 펌핑 할 수 있습니다. 유한 L의 경우 , p 가 L 에서 가장 긴 단어의 길이보다 길어집니다 . 따라서, 명목은 모호하게 유지되며, L의 단어에는 적용 할 수 없으며 , 즉 L의 단어는 이름 이 요구하는 " 최소한 p를 갖는 길이"의 조건을 만족시키지 못한다 .$p$$L$$p$$L$$L$$L$$p$

당연한 결과 : 경우 길이 펌핑했다 (P)을 , 어떤 단어가 존재 w ∈ L 이상의 길이 p는 다음 L은 무한하다.$L$$p$$w\in L$$p$$L$

펌핑 보조는 일반적으로 무한 언어, 즉 무한 단어 수를 포함하는 언어에서 사용됩니다. 유한 언어 , 유한 상태 수의 DFA에서 항상 허용 할 수 있으므로 L 은 규칙적이어야합니다.$L$$L$

$\begin{array}{l} (\forall L\subseteq \Sigma^*) \\ \quad (\mbox{regular}(L) \Rightarrow \\ \quad ((\exists p\geq 1) ( (\forall w\in L) ((|w|\geq p) \Rightarrow \\ \quad\quad ((\exists x,y,z \in \Sigma^*) (w=xyz \land (|y|\geq 1 \land |xy|\leq p \land (\forall i\geq 0)(xy^iz\in L)))))))) \end{array}$

$L$$l_{max}$$L$$p$$l_{max}+1$$L$$\geq l_{max}+1$

$L^{\geq k} = \{ w \in L \mid |w| \geq k\}$

$L$$p \in \mathbb{N}$

$\qquad \displaystyle \forall w \in L^{\geq p}.\ \exists x,y,z \dots$

$L$L ≥ p = ∅ $p > \max \{ |w| \mid w \in L\}$$L^{\geq p} = \emptyset$$p$