리터럴이 두 번 이상 발생할 수없는 제한된 버전의 3SAT를 다항식 시간으로 해결할 수 있음을 증명하는 방법은 무엇입니까?

과제 ( S. Dasgupta, CH Papadimitriou 및 UV Vazirani , Chap 8, 문제 8.6a) 에서 가져온 과제를 해결하려고 노력 중이며 다음과 같이 설명하고 있습니다.

3SAT는 각 리터럴이 최대 두 번 나타나는 수식으로 제한 되더라도 NP- 완료 상태로 유지되므로 각 리터럴이 최대 한 번 나타나는 경우 다항식 시간으로 문제를 해결할 수 있음을 보여줍니다.

절을 여러 그룹으로 분리 하여이 문제를 해결하려고했습니다.

1. 나머지 절과 공통 인 변수가없는 절
2. 공통 변수가 1 개 뿐인 절
3. 공통 변수가 2 개인 절
4. 3 개의 변수가 모두 공통 인 절

내 추론은 그러한 그룹의 #이 유한하다는 선을 따라 시도되었고 (리터럴이 두 번 이상 존재하지 않는다는 제한이 부과 되었기 때문에) 가장 제한된 그룹을 먼저 충족시키고 (그룹 4) 제한된 그룹 (3, 2 및 1)이 발생하지만 각 문자가 나타날 수있는 제한된 버전의 3SAT의 경우와 크게 다르지 않기 때문에 이것이 나에게 전혀 도움이되지 않는다는 것을 깨달았습니다. NP- 완료로 입증 된 최대 두 번.

힌트 / 솔루션을 온라인으로 검색하려고 시도했지만 이 링크 만 있으면 언급 된 힌트가 충분히 이해가되지 않아 여기에서 그대로 재현합니다.

힌트 : 각 리터럴이 최대 한 번 나타나므로이 문제를 2SAT 문제로 변환하십시오. 따라서 다항식 시간으로 리터럴 가 절에 보완 물 (예 : )이 절에 새 절을 구성하십시오. 절 .$x_i$$C_j$$x_i$$\overline{x_i}$$C_k$$C_j \lor \overline{C_k}$

두 및 내가 수행하여 2SAT로 변환 가야하는 방법을하지 않았다 - 세 리터럴 각이 (또는 내가 잘못 읽으면을).$C_j$$C_k$$C_j \lor \overline{C_k}$$\overline{C_j \lor C_k}$

힌트를 해독하거나 탐색 할 수있는 경로를 제공하는 데 도움이 될 것입니다.

일반성을 잃지 않으면 서 각 변수가 정확히 한 번 긍정적이고 정확하게 한 번 부정적으로 나타난다 고 가정 할 수 있습니다 (변수가 한 번만 나타나면 절을 만족시키고 절을 제거하도록 값을 설정하십시오). 또한 한 절에 변수가 두 번 이상 나타나지 않는다고 가정 할 수 있습니다 (구문에 변수가 긍정적이고 부정적으로 나타나면 절이 충족되어 제거 될 수 있음). 이들은 만족도를 변경하지 않습니다.

이제 해결 규칙 을 사용하여 변수를 하나씩 제거하십시오 (각 변수가 정확히 한 번 긍정적으로 나타나고 부정적으로 한 번이 결정적인 과정이기 때문에). 어느 시점에서 빈 절을 얻으면 절 세트를 충족시킬 수 없으며, 그렇지 않으면 만족할 수 있습니다. 이 때문입니다:

• 결의안은 완전한 제안 증명 시스템입니다 (즉, 절이 일련의 절에 의해 암시 적으로 적용되는 경우, 결의 규칙 만 사용하여 절의 집합에서 도출 할 수 있음),

• 빈 절을 논리적으로 암시하면 절 집합이 만족스럽지 않습니다.

이 알고리즘은 각 변수가 정확히 한 번만 해결되므로 다항식 시간이 걸립니다. 특히, 각 해결 방법 적용은 총 절 수를 1 씩 줄이므로 절 수는 증가하지 않습니다. 예를 들어, 해상도를 적용 하면 산출 되며, 이는 이전보다 절 수가 1 개 적습니다. 반대로, 각 리터럴의 표시 횟수에 제한없이 3SAT 수식에 적용한 경우 해상도를 적용하면 절 수가 기하 급수적으로 증가 할 수 있습니다.$(x \lor B) \land (\overline{x} \lor C) \land \dots)$$(B \lor C) \land \dots$