언어에 컨텍스트가 없음을 증명하는 방법은 무엇입니까?

있습니다 많은 기술 언어임을 증명 하지 문맥 자유는 있지만, 어떻게 언어는 것을 증명 할 것이다 문맥 자유?

이것을 증명하기 위해 어떤 기술이 있습니까? 분명히, 한 가지 방법은 언어에 대해 문맥이없는 문법을 보여주는 것입니다. 주어진 언어에 대해 문맥이없는 문법을 찾는 체계적인 기술이 있습니까?

일반 언어의 경우,이 있는 체계적인 방법으로 일반 문법 / 유한 상태 자동 장치를 도출은 : 예를 들어, 마이 힐 - Nerode 정리 한 방법을 제공합니다. 문맥없는 언어에 해당하는 기술이 있습니까?

여기서의 동기는 주어진 언어에 컨텍스트가 없음을 증명하려고 할 때 종종 도움이되는 기술 목록이 포함 된 참조 질문을 작성하는 것입니다. 여기에는 특별한 경우에 대한 많은 질문이 있기 때문에 이런 종류의 문제에 직면 할 때 사용할 수있는 일반적인 접근 방법이나 일반적인 기술을 문서화 할 수 있다면 좋을 것입니다.

많은 예제에서 작동하는 실용적인 접근법은 (언제나 아는 것은 아님) 언어에서 문자열 의 중첩 구조 를 찾으려고합니다 . "중첩 된 종속성"은 문자열의 다른 부분에서 동시에 생성되어야합니다.

또한 기본 도구 상자가 있습니다 .

1. 연결 : 언어를 두 개 연속으로 분할 할 수있는 경우이 프로덕션을 사용하십시오.$S\to S_1S_2$

2. 결합 : 분리 된 부분으로 분할$S\to S_1 \mid S_2$

3. 반복 :$S\to S_1S \mid \varepsilon$

실시 예 1

다음은 중첩에 대한 예입니다 (Raphael에게 감사합니다).

$L=\{b^ka^l(bc)^ma^nb^o \mid k,l,m,n,o\in {\Bbb N},k\neq o,2l=n,m\ge 2 \}$

을 바꿉니다 . 우리는 이제 조건에서 을 떨어 뜨릴 수 있습니다 .$n$$2l$$n$

교체 으로 (혼동? 는 '오'없는 "제로"). 연합 도구를 적용하십시오. 우리는 여기서 작업 합니다. 또한 iff 및 여기서 는 새로운 변수입니다. 를 바꿉니다 .$k \neq o$$k > o \text{ or } k < o$$o$$k > o$$k>o$$k=s+o$$s>0$$s$$k$$s+o$

$L_1 =\{b^{s+o}a^l(bc)^ma^{2l}b^o \mid l,m,o,s\in {\Bbb N},s>0,m\ge 2 \}$

간단한 재 작성.

$L_1 =\{bb^sb^o a^l bcbc(bc)^m (aa)^{l}b^o \mid l,m,o,s\in {\Bbb N} \}$

이제 중첩 구조를보고 문법 작성을 시작합니다.

$S_1 \to TV$ , , (참조 : 연결 및 반복)$T\to bU$$U\to bU \mid \varepsilon$

$V \to bVb \mid W$ ( 양쪽에 생성 함 )$o$ $b$

$W \to aWaa\mid X$

$X\to YZ$ , ,$Y\to bcbc$$Z\to bcZ\mid \varepsilon$

실시 예 2

$K =\{ a^kb^lc^m \mid l=m+k\}$

첫 번째 "명백한"재 작성.

$K =\{ a^kb^{m+k}c^m \mid m,k\ge 0\} = \{ a^kb^mb^kc^m \mid m,k\ge 0\}$

언어학에서는이를 "직렬 직렬 종속성"이라고합니다. 인터리빙 (보통)은 컨텍스트가없는 것을 나타냅니다. 물론 이고 우리는 구원받습니다.$k,m,k,m$$m+k=k+m$

$K =\{ a^kb^{k+m}c^m \mid m,k\ge 0\} = \{ a^kb^kb^mc^m \mid m,k\ge 0\}$

프로덕션 , ,$S\to XY$$X\to aXb\mid \varepsilon$$Y\to bYc\mid \varepsilon$

마찬가지로$K'= \{ a^kb^lc^m \mid m=k+l\} = \{ a^kb^lc^lc^k \mid k,l\ge 0\}$

프로덕션 ,$S\to aSc \mid X$$X\to bXc\mid \varepsilon$

최종 의견 :이 기술들은 여러분의 언어를 희망적으로 인식 할 수있는 상황에 맞지 않는 문법을 만들어내는 데 도움이됩니다. 문법이 실제로 당신의 언어를 인식하는 데 도움이되도록 올바른 증거 가 필요할 수도 있습니다.

사용할 수있는 CFL의 특성은 Chomsky-Schützenberger 정리 입니다.

딕 언어

알파벳 보자 . 우리는 정의 반다이 크 -language 의 컨텍스트 - 프리 그래머에 의해 와 주어진$T$$D_T \subseteq (T \cup \hat{T})^*$$T$$G = (\{S\}, T \cup \hat{T}, \delta, S)$$\delta$

$\qquad\displaystyle S \to aS\hat{a}S \mid \varepsilon, \quad a \in T$ 입니다.

촘스키-슈첸 베르거 정리

$L \subseteq \Sigma^*$ 는 다음과 같은 경우에만 컨텍스트가 없습니다.

• 는 알파벳 ,$T$
• 일반 언어 및$R \subseteq (T \cup \hat{T})^*$
• 동질성$\psi : (T \cup \hat{T}) \to \Sigma^*$

그래서

$\qquad \displaystyle L = \psi(D_T \cap R)$ 입니다.

동질성은 단어 (기호 별 기호)로 확장 된 다음 언어 (단어 별)로 확장됩니다.

예

고려 . 와$L = \{ a^n b^n c^m \mid n,m \in \mathbb{N}$

• $T = \{ [, \langle\}$ (그리고 정식으로 ),$\hat{T} = \{ ], \rangle\}$
• $R = \mathcal{L}([^* ]^*\langle^* \rangle^*)$ 및
• $\psi(x) = \begin{cases} a, &x = [ \\ b, &x =\ ] \\ \varepsilon, &x = \langle \\ c, &x =\ \rangle \end{cases}$

정리는 이 문맥이 없음을 의미하며 , 특히$L$

$\qquad\displaystyle D_T \cap R = \{[^n ]^n \langle^m \rangle^m \mid n,m \in \mathbb{N}\}$ .

실시 예 2

보여 에 컨텍스트가 없습니다.$L = \{ b^k a^l (bc)^m a^n b^o \mid k,l,m,n,o \in \mathbb{N}, k \neq o, 2l = n, m \geq 2 \}$

여기서 우리는 , , 위한 괄호 와 를 일으키는 를 모델링하는 데 사용되는 괄호가 필요합니다 . 우리는 사용$a$$bc$$b$$b$$k \neq o$

• $T = \{ [, \langle, \vdash, < \}$ ,
• $R = \mathcal{L}(<^+>^+\vdash^* [^* \langle\langle^+ \rangle^+\rangle ]^* \dashv^*) \cup \mathcal{L}(\vdash^* [^* \langle\langle^+ \rangle^+\rangle ]^* \dashv^*<^+>^+)$ 및
• $\psi(x) = \begin{cases} b, &x \in \{\vdash, \dashv, <\} \\ a, &x = [ \\ aa, &x =\ ] \\ bc, &x = \langle \\ \varepsilon, &\text{else} \end{cases}$

정리를 적용합니다. 를 확인하기 위해 일치하는 기호 (예 : 및 )가 에서 똑같이 자주 발생해야 한다는 사실 이상을 필요로하지 않습니다 . 을 정의한 정규 표현식에이 제약 조건을 추가 하면$L = \psi(D_T \cap R)$$[$$]$$w \in D_T$$R$

$\qquad \begin{align*} D_T \cap R = &\{<^p>^p \vdash^o [^l \langle^m \rangle^m ]^l \dashv^o \mid p \geq 1, o \geq 0, l \geq 0, m \geq 2\} \\ &\cup\ \{\dots\} \end{align*}$

그리고 그와 함께

$\qquad\begin{align*} \psi(D_T \cap R) &= \{ b^{p+o} a^l (bc)^m a^{2l} b^o \mid p \geq 1, o \geq 0, l \geq 0, m \geq 2 \} \\ &\quad \cup\ \{ \dots \} \\ &= \{ b^k a^l (bc)^m a^n b^o \mid k,l,m,n,o \in \mathbb{N}, k > o, 2l = n, m \geq 2 \} \\&\quad \cup\ \{ \dots \} \\ &= L \;. \end{align*}$

문법과 오토마타

우리가 결국 오토 마톤이나 문법을 원한다면, 우리보다 더 많은 일이 있습니다.

• 오토 마톤을 향하여 D_T의 와 의 NFA를 구성하십시오 . 전자는 표준이며 언어가 적절한 표현으로 제공되는 경우 후자를위한 알고리즘이 있습니다 ( 여기 참조 ). 교차는 둘 다 표준 구성이며 는 모든 전환에 개별적으로 적용될 수 있습니다.$D_T$$R$$\psi$

• 문법에 대한 빌드 한쪽으로 (다시, 표준이어야 함)에 대한 하나 가지고 와 그 교차을 . 그런 다음 를 규칙 세트에 적용 하십시오 (기호의 기호).$R$$D_T$$\psi$

논란의 여지가 있지만, 이것은 알고리즘이기 때문에 쉽습니다. 복잡성은 적합한 , 및 를 찾는 데 있습니다 . 이 접근 방식이 PDA / 문법을 직접 구성하는 것보다 (종종) 간단한 지 잘 모르겠지만 현재 사용중인 언어의 중요한 기능에 집중할 수 있습니다. 직접 해보십시오!$T$$R$$\psi$