P = NP를 해결하지 않는 방법?

또는 를 증명하려는 많은 시도가 있으며 , 당연히 많은 사람들이이 두 가지 방향을 증명하기위한 아이디어를 가지고 질문에 대해 생각합니다.P ≠ N $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

나는 작동하지 않는 것으로 입증 된 접근법이 있으며, 아마도 실패의 역사가있는 접근법이 더 많이 있다는 것을 알고 있습니다. 또한 많은 증거 시도가 극복하지 못하는 소위 장벽 이 있는 것 같습니다 .

우리는 막 다른 골목에 대한 조사를 피하고 싶습니다. 그렇다면 무엇입니까?

를 해결하는 가장 잘 알려진 장벽 은$P=NP$

1. 상대화 (Ran G.가 언급 한 바와 같이)
2. 자연 증명-특정 암호화 가정 하에서 Rudich와 Razborov는 자연 증명이라는 증명 클래스를 사용하여 를 증명할 수 없음을 증명했습니다.$P\neq NP$
3. 대수-Scott Aaronson과 Avi Wigderson 그들은 대 수화 증거가 와 분리 할 수 ​​없음을 증명N $P$$NP$

내가 친숙한 또 다른 하나는 LP 제제가 TSP를 해결할 수 없다는 결과입니다 (Yannakakis가 대칭 LP에 대해 입증했으며 최근에는 일반 LP로 확장했습니다). 다음 은 결과를 설명하는 블로그 게시물입니다.

참고 : 답변을 아직 신중하게 확인하지 않았으며 작성해야 할 부분이 없으므로 첫 번째 초안으로 생각하십시오.

이 답변은 주로 복잡한 이론이나 관련 분야의 연구원이 아닌 사람들을위한 것입니다. 복잡한 이론가이고 답을 읽은 경우 문제를 발견하거나 답을 개선 할 생각이 있으면 알려주십시오.

P 대 NP의 주장 된 솔루션을 찾을 수있는 곳

• 그러한 주장의 목록 이 있는 P-versus-NP 페이지 가 있습니다.
• 문제 해결을 주장하는 기사는 정기적으로 arXiv에 게시됩니다 .

P 대 NP를 해결하지 않는 방법에 대한 다른 목록

랜스 포트 노우, 당신은 당신이 정착 했다고 생각합니다 P verus NP , 2009

스콧 애런 슨은 여덟 징후 A는 P ≠ NP 증명이 잘못 주장 , 2010

에 대한 박식 페이지 Deolalikar의 논문 , 추가적인 판독 섹션이 문제에 대한 참조의 좋은 목록이 있습니다.

P 대 NP에 접근하지 않는 방법

작동하지 않을 아이디어가 아니라보다 일반적인 의미로 "P 대 NP 에 접근 하지 않는 방법"에 대해 설명하겠습니다 . P 대 NP는 설명하기 쉬운 문제입니다 ( 여기서 내 대답 참조 ).

NP = P : 다항식 시간 검증 알고리즘의 모든 결정 문제에 대해 다항식 시간 알고리즘이 있습니다.

또는 동등하게

SAT에는 다항식 시간 알고리즘이 있습니다.
SAT는 다른 NP-complete 문제 로 대체 될 수 있습니다 .

.

종종 사람들은 문제를 지나치게 단순화하고 지나치게 철학적으로 표현하고 문제의 실질적 중요성을 과장합니다 (위에서 언급 한 것처럼). 이러한 진술은 종종 직관을 제공하기위한 것이지만, 문제의 실제 수학적 진술을 대체하는 것은 아닙니다.

이론적 효율성은 실제로 실현 가능성과 동일 하지 않습니다 .

과장된 실질적인 결과에 대해 먼저 말씀 드리겠습니다.

I. P = NP 일 가능성이 있지만 실제로 문제를 해결하지는 못합니다!

예를 들어 SAT가 P에 있지만 실행 시간 동안 가장 빠른 알고리즘은 입니다. 이 알고리즘은 실용적이지 않습니다.$2^{2^{64}} n^{65536} + 2^{2^{128}}$

II. P NP 일 가능성이 있으며 NP 완료 문제를 효율적으로 해결할 수 있습니다 .$\neq$

예를 들어 SAT가 P에 없지만 실행 시간이 인 알고리즘을 가지고 있다고 가정하십시오 .$n^{\lg^*\lg^* n}$

이되도록 입력을 주려면 우주에있을 것으로 생각되는 전자를 더 많이 사용해야합니다. 따라서 지수는 본질적으로 입니다.$\lg^* n > 6$$2$

여기서 중요한 점은 P는 효율적인 계산의 추상 간단한 모델이고 최악의 경우의 복잡성은 계산 비용 등을 계산하는 추상적 인 간단한 모델이라는 것입니다. 이들 모두는 추상화이지만 실제로 아무도 알고리즘을 고려하지 않습니다. 효율적인 알고리즘으로 위의 (I)의 것과 같습니다. P는 훌륭한 추상 모델이며, 좋은 속성을 가지고 있으며, 기술적 문제를 쉽게 만들고 유용한 모델입니다. 그러나 모든 수학적 추상화와 마찬가지로 실제로 우리가 관심을 가질만한 세부 사항을 숨 깁니다. 더 세련된 모델이 다양하지만 모델이 복잡할수록 논쟁의 여지가 적습니다.

사람들이 실제로 관심 을 갖는 것은 합리적인 양의 자원 사용에 관심이있는 인스턴스에 대한 문제에 대한 답변 을 계산 하는 것 입니다. 작업에 따라 다르므로 고려해야합니다.

NP- 하드 문제의 실제 사례에 대해 더 나은 알고리즘을 찾으려고 노력하는 것은 흥미롭고 가치있는 노력입니다. 업계에서 사용되는 SAT 해석기 휴리스틱 알고리즘이 있으며 수백만 개의 변수로 SAT의 실제 사례를 해결할 수 있습니다. 더이 국제 SAT의 경쟁 .

(그러나 이러한 모든 알고리즘이 실패하고 상당히 나쁘게 진행되는 작은 구체적인 사례도 있지만 실제로 모든 최신 SAT 솔버가 제안 적 비둘기 구멍 원리 와 같은 간단한 인스턴스를 해결하는 데 시간이 걸린다는 것을 증명할 수 있습니다 .)

있음을 명심 프로그램의 정확성 및 실행 시간이 경우에 프로그램을 실행에서 바로 얻을 수 없습니다 . 얼마나 많은 인스턴스를 시도하든 상관없이 금액이 충분하지 않습니다. 가능한 많은 입력이 있으며 모든 입력에 대해 프로그램의 정확성과 효율성 (즉, 실행 시간이 다항식)을 보여야합니다. 요컨대, 정확성과 효율성에 대한 수학적 증거가 필요합니다. 수학적 증거가 무엇인지 모른다면 먼저 몇 가지 기본 수학을 배워야합니다 (교과서 이산 수학 / 조합사 / 그래프 이론을 읽으면 수학 증거로 간주되는 것을 배우는 데 좋은 주제입니다).

P 대 NP에 대한 다른 주장과 그 결과에 대해서도주의하십시오. 이러한 주장은 종종 유사한 단순화를 기반으로합니다.

복잡성 이론가들은 실제로 P 대 NP에 대한 답에 신경 쓰지 않습니다!

나는 조금 과장했다. 물론 우리는 P 대 NP에 대한 답을 중요하게 생각합니다. 그러나 우리는 맥락에서 그것에 관심이 있습니다. P 대 NP는 우리의 주력 문제이지만 궁극적 인 목표는 아닙니다. 문제를 쉽게 설명 할 수 있고, 많은 기본 아이디어가 포함되며, 주제에 익숙하지 않은 사람들에게 관심있는 질문을 설명하는 데 유용합니다. 그러나 우리는 그 질문에 대한 하나의 예 / 아니오 답변을 찾지 않습니다.

우리 는 효율적인 계산의 본질에 대한 이해를 추구 합니다 . 우리는 문제를 해결하는 것이 그러한 이해와 함께 올 것이며 이것이 우리가 관심을 갖는 진짜 이유라고 믿습니다. 그것은 거대한 연구의 일부입니다. Arora와 Barak의 " 복잡성 이론 : 현대적 접근 방식 "(예 : 초안 ) 과 같은 훌륭한 복잡성 이론 교과서를 살펴보면 우리가하는 일을 맛보고 싶을 것 입니다.

누군가 암호화 된 P NP 의 완전한 증거를 가지고 있다고 가정 하고 우리는 약간의 증거를 선택하고 해독함으로써 매우 높은 신뢰도로 정확성을 검증 할 수 있다고 가정합시다 ( 제로 지식 증명 및 PCP 정리 참조 ). . 따라서 우리는 유성이 우리 집을 때리는 것보다 오류 확률이 낮은 주장을 확인할 수 있습니다. 증거가 정확하고 P = NP라고 확신하지만 그 증거를 모릅니다. 그것은 우리에게 큰 만족이나 흥미를 유발하지 않을 것입니다. 공식적인 증거 자체도 만족스럽지 않을 것입니다. 우리가 추구하는 것은 공식적인 증거가 아니며, 우리가 추구하는 것은 이해하는 것입니다.$\neq$

요컨대 복잡한 이론가의 관점에서

P 대 NP는 예 / 아니오로 답하는 퍼즐이 아닙니다. 우리는 효율적인 계산의 본질을 더 잘 이해할 것이라고 생각하기 때문에 P 대 NP에 대한 답을 찾고 있습니다. 우리의 이해력이 크게 향상되지 않은 대답은 그리 흥미롭지 않습니다.

전문가가 아닌 사람이 P 대 NP에 대한 솔루션을 주장한 경우가 너무 많았으며, 이러한 주장은 일반적으로 복잡성 이론에 대한 표준 교과서를 읽으면 만들 수 없었던 문제로 어려움을 겪습니다.

일반적인 문제 P = NP

P = NP의 주장이 더 일반적인 것 같습니다. 다음은 가장 일반적인 유형이라고 생각합니다. 누군가 아이디어를 가지고 프로그램을 작성하고 몇 가지 인스턴스에서 테스트하고 다항식 시간이라고 생각하고 NP- 완전 문제를 올바르게 해결합니다. 위에서 설명했듯이 테스트는 P = NP로 표시되지 않습니다. P = NP 는 다항식 시간에서 NP- 완전 문제를 해결하는 것으로 보이는 프로그램 만이 아니라 수학적 증거가 필요합니다 .

이러한 시도는 일반적으로 다음 두 가지 문제 중 하나를 겪습니다.

I. 알고리즘은 실제로 다항식 시간이 아닙니다.

II. 알고리즘이 모든 인스턴스를 올바르게 해결하지는 않습니다.

P NP 인수가 올바르지 않음을 나타냅니다.$\neq$

[필기]

알고리즘이 실제로 작동 하지 않는지 확인하는 방법

테스트를 통해 알고리즘이 올바르게 작동 함을 보여줄 수 없습니다. 그러나 테스트를 통해 제대로 작동하지 않음을 보여줄 수 있습니다! 그래서 당신이 기꺼이 어떤 일을하려고한다면 알고리즘이 정확하지 않은지 확인하는 방법이 있습니다.

먼저 SAT 인스턴스 (표준 CNF 형식)를 해결하려는 NP-hard 문제로 변환하는 프로그램을 작성하십시오. SAT는 가장 많이 연구 된 NP-hard 문제 중 하나이며 다른 문제에서 SAT 로의 감소는 일반적으로 쉽습니다. 둘째, 최첨단 SAT 솔버가 어려움을 겪는 예를 들어 (예 : SAT 경쟁에서 예를 들어) 알고리즘에 공급하고 알고리즘의 성능을 확인하십시오. 건의 적 피존 홀 원리와 같은 알려진 하드 인스턴스 (특별한 경우로 하드 코딩하여 속임수), 암호화 인스턴스 ( RSA Factoring Challenges 등 ), 임계 값 근처 의 임의의 k-SAT 인스턴스 등을 사용해보십시오.

마찬가지로 알고리즘이 비효율적인지 확인할 수 있습니다. 예를 들어, 알고리즘의 실행 시간이 가 아니라고 생각 하지만 크기가 1000 인 인스턴스를 해결하는 데 며칠이 걸리는 경우 알고리즘이 생각하는 다항식 최악의 실행 시간 상한을 수정하십시오. 인스턴스를 가져 와서 알고리즘이 해결하는 데 걸리는 시간을 추정하고 예상치와 일치하는지 확인하십시오.$10 n^2$

알고리즘 P = NP 아이디어를 확인할 수없는 방법

이 작업을 수행하면 알고리즘이 작동하지 않을 것입니다 (최신 SAT 솔버 상태보다 더 잘 작동하면 다음 경쟁에서 경쟁하고 많은 사람들이 알고리즘과 아이디어를 연구하는 데 관심이 있음).

이제는 실제로 작동하지 않지만 충분하지 않습니다. 왜 그런지 알고 싶어

내 알고리즘이 해결할 수있는 작은 문제가 작동하지 않는 이유입니까 아니면 작동하지 않는 근본적인 이유가 있습니까?

때로는 알고리즘의 문제가 간단하고 개념적으로 잘못된 것을 식별 할 수 있습니다. 최상의 결과는 아이디어가 효과가없는 이유를 이해하는 것입니다. 종종 그렇지 않습니다, 당신의 아이디어는 효과가 없지만 당신은 그 이유를 알 수 없습니다. 이 경우 명심하십시오.

어떤 아이디어가 효과가 없는지 이해하는 것은 P 대 NP를 해결하는 것보다 더 어려울 수 있습니다!

아이디어를 충분히 공식화 할 수 있다면 특정 아이디어의 한계를 입증 할 수 있습니다 (예 : 욕심 많은 알고리즘의 특정 공식화는 NP- 완전 문제를 해결할 수 없다는 결과가 있습니다). 그러나 훨씬 더 어렵고 표준 복잡성 이론 교과서를 읽지 않으면 많은 기회가 없습니다.

때때로 알고리즘이 작동해야하는 이유에 대한 명확한 개념적 아이디어조차 없습니다. 즉, 잘 이해되지 않은 휴리스틱을 기반으로 합니다. 알고리즘이 작동하는 이유에 대한 명확한 개념 아이디어가 없다면 왜 알고리즘이 작동하지 않는지 이해할 가능성이 거의 없습니다!

P NP 청구의 일반적인 문제$\neq$

대부분의 전문가들은 P NP가 P = NP보다 가능성이 높다고 생각하지만 그러한 주장은 덜 일반적으로 보입니다. 그 이유는 하한값을 증명하는 것이 알고리즘을 설계하는 것보다 어려운 작업 인 것 같습니다 (그러나 하한값과 상한값을 증명하는 것은 본질적으로 관련이 있습니다 ).$\neq$

문제 1 : 저자는 P와 NP의 정의를 모르거나 심지어 수학 증거가 무엇인지 이해하지 못합니다. 저자는 기본적인 수학 교육이 없기 때문에 자신이 제시하는 내용이 증거가 아니라는 사실을 이해하지 못합니다 (예 : 이전 단계의 단계는 따르지 않습니다).

문제 2 : 저자는 "수학적 불가능"과 "어떻게 모른다"를 혼동한다. 예를 들어, 그들은 여러 가지 정당하지 않은 가정을하고 "이 진술이 왜 진실인가?"라는 질문을받을 때 그들은 "어떻게 거짓 일 수 있습니까?"라고 대답합니다. 일반적인 문제는 문제를 해결하는 프로그램이 특정 단계를 수행해야한다고 가정하는 것입니다. 예를 들어 문제를 해결하는 다른 방법을 생각할 수 없기 때문에 특정 중간 값을 계산해야합니다.

[완료]

P NP 인수가 올바르지 않음을 나타냅니다.$\neq$

[필기]

P NP 아이디어를 확인할 수없는 방법$\neq$

주장이 이러한 기본 문제로 고통받지 않으면 거부하기가 더 어려워집니다. 첫 번째 단계에서는 논쟁에서 잘못된 단계를 찾을 수 있습니다. 저자의 전형적인 대답은 내가 고칠 수 있고 이것으로 계속할 수 있다는 것입니다. P = NP 솔루션과 유사하게, 특히 아이디어 자체가 비공식적 일 때 아이디어가 작동하지 않음을 나타낼 수있는 아이디어로 근본적인 문제를 찾는 것은 매우 어려운 경우가 많습니다.

가장 좋은 경우에, 우리가 아이디어를 공식화하고 아이디어가 효과가 없다는 것을 나타내는 장애물을 식별 할 수 있다면 우리는 새로운 장벽 결과를 증명했습니다 (이것은 회로 하한을 사용하여 P NP 를 증명하려는 시도가 자연적 증거 장벽으로 이어집니다 ).$\neq$

어쩌면 사용할 수없는 가장 일반적인 기술은 상대화 , 즉 오라클 액세스가 가능한 TM을 사용하는 것입니다.

불가능은의 논문에서 다음과 시어 도어 베이커, 존 길, 로버트 Solovay 이 개 신탁 (언어)의 존재를 보여 와 등이 및 .B P A = NP A P B ≠ NP $A$$B$$\text{P}^A = \text{NP}^A$$\text{P}^B \ne \text{NP}^B$

따라서 대한 증거를 할 수 있다면 모든 oracles 에 대해 이는 의 존재와 모순 됩니다.O P O ≠ NP O$\text{P}\ne \text{NP}$$O$$\text{P}^O \ne \text{NP}^O$$A$

특히, 이것은 증명이 상대화 될 수 있으므로 을 증명하는 데 대각선 화를 사용할 수 없음을 의미합니다 ( 예 : 강의 노트 참조) .$\text{P} \stackrel{?}{=} \text{NP}$

Lance Fortnow 의이 블로그 게시물 을 읽는 것이 좋습니다 .

1. 그래서 당신은 당신이 정착했다고 생각합니다. 알아 내십시오. 때때로 당신은 여전히 ​​당신의 결함있는 증거에서 흥미로운 것을 구제 할 수 있습니다.
2. 당신은 증거가 정확하다고 생각합니다. 당신의 믿음이 틀립니다. 1 단계로 돌아갑니다.
3. 작고 명백한 것처럼 보이는 가정이나 지름길을 만들고 있습니까? "명확하게", "명백하게", "보기 쉬운", "해야한다", "필수"또는 "아마도"와 같은 단어를 사용하고 있습니까? 당신은 아마도 모든 수학에서 가장 중요한 문제를 해결했다고 주장하고 있습니다. 당신은 가정을 할 수 없습니다. 1 단계로 돌아갑니다.
4. P 대 NP 문제를 실제로 이해하고 있습니까? P ≠ NP를 표시하려면 시간 n (n = 입력 길이) 에서 실행중인 모든 k 및 모든 기계 M 에 대해 M이 L을 올바르게 계산하지 못하도록 NP에서 언어 L을 찾아야합니다 . L은 문자열 세트입니다. 다른 건 없어 L은 M 또는 k에 의존 할 수 없습니다. M은 비트 열을 처리하는 모든 프로그램이 될 수 있습니다. M은 L을 정의한 방식과 완전히 다르게 작동 할 수 있습니다. 1 단계로 돌아가십시오.$n^k$
5. 온라인 보관소에 논문을 제출합니다. 어쩌면 어떤 사람들은 당신의 논문에 무엇이 빠졌거나 잘못되었는지 말해 줄 것입니다. 이렇게하면 1 단계로 이동해야합니다. 대신 종이를 약간 변경하여 다시 게시하십시오.
6. 결국 사람들은 당신의 논문을 무시합니다. 왜 명성과 재산을 얻지 못하는지 궁금합니다.
7. 논문을 저널에 제출합니다.
8. 용지가 거부되었습니다. 똑똑하다면 1 단계로 돌아가십시오. 그러나 똑똑하다면 7 단계로 넘어 가지 않았을 것입니다.
9. 편집자가 증거를 이해하지 못하거나 쉽게 고칠 수 있다고 편집자에게 불평합니다. 당신은 훌륭한 편집자 나 저널이 당신의 논문을 이런 식으로 취급한다고 충격을 받았습니다.
10. 논문을 다시 제출하고 항소하며 다른 저널을 사용해보십시오.
11. P 대 NP 문제를 해결하면 모든 분야에서 관심을 끌기 때문에 우리의 분야가 훨씬 덜 흥미로워 지므로 "시설"이 의도적으로 논문을 억제하고 있다고 확신합니다.
12. 내가 다르게 말하면 날 믿겠 니?

여기 1980 년대부터 시작된 회로를 통한 접근과 관련하여 다소 모호하고 / 깊고 / 어려운 / 사이더 각도 / 레퍼런스 / 트위스트 (트위스트)가 있습니다. 주제에 대한 참조, 부울 함수 복잡성 : 고급 및 프론티어 (알고리즘 및 조합, Vol. 27 ).

Razborov의 일부 사고에서 초기에 Natural Proofs 논문 (소위 "귀화") 으로 이어지는 초기 추세를 볼 수 있습니다 . ref [273]는 매우 기술적이고 어렵고, 자연 증명이 나중에 큰 일반화로 여겨 질 수 있지만 이후의 논문 / 책에서 많이 인용되거나, 작성 / 확장되거나 반복되는 것으로 보이지 않습니다. 발췌는 John E Savages의 훌륭한 심판 모델의 참조 p457

$\Omega(n^2)$$n$

AA Razborov,“일부 부울 함수의 모노톤 복잡성에 대한 하한”, Dokl. 아카드. Nauk SSSR (Soviet Math. Dokl.) 281 (1985), 798–801 (러시아어); 소련 수학 영어 번역. Dokl. 31 (1985), 354–357

AA Razborov, "논리적 영구성의 모노톤 네트워크 복잡성에 대한 하한", Mat. Zametki 37 (1985), 887–900 (러시아어); 수학 영어 번역. 주 37 (6) (1985), 485–493.

AA Razborov,“근사법에 관한 것”, Proc. 21 일 ACM 증상 컴퓨팅 이론 (1989), 167–176.