동등하지 않은 이진 행렬 구성

0 또는 1 요소로 동등한 행렬 (또는 원하는 경우 )을 모두 구성하려고합니다. 동일한 행렬을 제공하는 작업은 i 및 j 행과 i 및 j 열을 동시에 교환하는 것입니다. 예. 대 $8\times 8$ $n\times n$ $1\leftrightarrow2$

(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}) \sim (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array})

$\begin{equation} \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{equation}$

결국, 나는 또한 각 클래스 내에 얼마나 많은 동등한 행렬이 있는지 계산해야하지만 Polya의 계산 정리가 그렇게 할 수 있다고 생각합니다. 지금은 각 동등하지 않은 클래스에서 하나의 행렬을 구성하는 알고리즘 적 방법이 필요합니다. 어떤 아이디어?

algorithms combinatorics

— 이력
소스

이상이 있습니다

이 중. 정말 큰 숫자입니다.

2^{64} / 8! \geq 2^{48}

$2^{64}/8! \geq 2^{48}$

— Yuval Filmus

@ Yuval : 이것들은 실제로 많은 수이며 내 계산에 따라

또는

경우 실제로 차이가 있습니다 . 달리는 데 몇 주가 더 걸릴 수 있습니다! 이것이 내가 문제의 모든 대칭을 사용하려고하는 이유입니다. 옆으로,이 문제는 String Theory의 모델 구축에서 비롯됩니다! :)

2^{48}

$2^{48}$

2^{52}

$2^{52}$

— Heterotic

이 모든 행렬로 무엇을 하시겠습니까? 그것들을 어디에 보관하겠습니까? 응용 프로그램은 무엇입니까?

— Yuval Filmus

아이디어 : 그래프 동형 문제와 매우 유사하지 않습니까? 행렬은 그래프 가장자리 행렬이 어디입니까? 그것들은 대칭 적이라는 것을 제외하고 ... 어쩌면 활용 될 수 있습니다. 그것에 대해 많은 이론이 있습니다.

— vzn

math.stackexchange.com/questions/924745/…

— orezvani

이 질문에 대한 답변을 향한 진전이있었습니다. 다른 사람이 관심이 있고이 구성이 (지시) 그래프에 유용 할 수 있기 때문에 여기에 게시하고 있습니다.

$a_0$ $a_1$ $a_8$ $\sum a_i=8$

(ㅏ_{1}, \dots, ㅏ_{8}; 티, 에스)

$(a_1,\cdots, a_8; T, S)$

1

$1$

0

$0$

0

$0$

\sum_{i = 1}^{8} a_{i} = 8 - a_{0}

$\sum_{i=1}^8 a_i=8-a_0$

내 시행 착오 에서이 매개 변수화에서 두 행렬이 다르면 다른 동등성 클래스에 속하므로 각 클래스에서 대표를 구성하기 위해 위에서 설명한대로 매개 변수 공간을 스캔합니다.

(업데이트)이 매개 변수화는 무차별 대입 계산에서 볼 수있는 n = 2에는 적합하지만 n = 3에는 적합하지 않습니다. 나는 그것이 그것이 답변의 구조에 대한 통찰력을 제공한다고 생각하며 사람들이 가장 일반적인 경우를 다루기 위해 그것을 시도하고 수정 / 확장하도록 권유합니다.

— 이력
소스

1 \times 1

$1 \times 1$

2 \times 2

$2\times 2$

7 \times 7

$7 \times 7$

@DW : 사실이 조건이 저에게 도움이되기를 원한다는 증거입니다. 더 작은 경우에 대해 철저하게 확인하고 어떤 일이 발생하는지 보겠습니다. 충고 감사합니다! 불행히도, 나는 SAT 솔버를 사용하여 반례를 찾는 방법을 모른다. 추측이 더 작은 행렬을지지한다면 그것에 대해 배우기 시작할 것입니다.

— Heterotic

말이 맞아, Heterotic! 실제로, 나는 SAT 솔버 사용에 대한 진술을 되풀이합니다. 나는 SAT 솔버를 사용하여 반례를 찾는 방법을 모른다. 미안합니다!

— DW

동일한 매개 변수를 가진 동일하지 않은 행렬이 있습니다. 열에서 1을 세 도록

를 변경 하면 동등성 연산에서 변하지 않는 매개 변수화도 얻을 수 있습니다. 이것으로부터 우리는

와

a_{i}

$a_i$

(1, 4)

$(1,4)$

(2, 3)

$(2,3)$

(1, 4)

$(1,4)$

(2, 4)

$(2,4)$ (둘 다에 대한 모든 나머지 항목 0은 동일하지 않지만 동일한 매개 변수를 갖습니다. (물론 이것은 즉시 열을 고려한 개선 된 매개 변수화로 이어집니다.)

— FrankW

Heterotic, 이제 답변이 작동하지 않는다는 것을 알고 있으므로 답변을 삭제하여 다른 사람과 혼동하지 않도록 제안합니다.

— DW