다이나믹 프로그래밍에 대한 사례 : 예 필요!

나는 한동안 동적 인 프로그래밍 작업을 해왔다. 동적 프로그래밍 재귀를 평가하는 정식 방법은 필요한 모든 값의 테이블을 만들고 행 단위로 채우는 것입니다. 예를 들어 Cormen, Leiserson et al : "Introduction to Algorithms" 를 참조하십시오 .

필자는 2 차원 (행 단위로 채움)으로 테이블 기반 계산 체계에 중점을두고 셀 종속성의 구조, 즉 다른 셀을 계산하기 전에 어떤 셀을 수행해야하는지 조사합니다. 셀 의존 하는 셀의 인덱스 세트 를 합니다 . 참고 사이클이 없어야합니다.I$\Gamma(\mathbf{i})$$\mathbf{i}$$\Gamma$

나는 계산되는 실제 함수에서 추상화하고 재귀 구조에 집중합니다. 공식적으로, 재귀 가 형식이있는 경우 동적 프로그래밍 이라고 생각합니다.$d$

$\qquad d(\mathbf{i}) = f(\mathbf{i}, \widetilde{\Gamma}_d(\mathbf{i}))$

로 , 및 사용하지 않고 일부 (계산 가능) 함수 비아 이외 .~ Γ d ( i ) = { ( j , d ( j ) ) ∣ j ∈ Γ d ( i ) } f d ∼ Γ$\mathbf{i} \in [0\dots m] \times [0\dots n]$$\widetilde{\Gamma}_d(\mathbf{i}) = \{(\mathbf{j},d(\mathbf{j})) \mid \mathbf{j} \in \Gamma_d(\mathbf{i}) \}$$f$$d$$\widetilde{\Gamma}_d$

의 입도 를 거친 영역 (현재 셀의 왼쪽, 왼쪽 위, 위쪽, 오른쪽 위 등)으로 제한 할 때 유효한 세 가지 경우 (대칭 및 회전까지)가 관찰됩니다. 테이블을 채울 수있는 방법을 알려주는 동적 프로그래밍 재귀 :$\Gamma_d$

빨간색 영역은 나타냅니다 . 사례 1과 2는 부분 집합을 인정하고 사례 3은 최악의 경우입니다 (인덱스 변환까지). 전체 빨간색 영역이 로 덮여 있어야하는 것은 아닙니다 . 테이블의 모든 빨간색 부분에있는 일부 셀은 빨간색으로 페인트하기에 충분합니다. 흰색 영역 에는 필요한 셀이 포함 되어 있지 않아야 합니다.$\Gamma$$\Gamma$

사례 1의 예는 편집 거리 와 가장 긴 공통 서브 시퀀스 이며, 사례 2는 Bellman & Ford 및 CYK에 적용됩니다 . 덜 명백한 예로는 제안 된 사례에 맞게 회전 할 수 있기 때문에 행 (또는 열)이 아닌 대각선에서 작동하는 것입니다. 예를 들어 Joe의 답변 을 참조하십시오 .

그래도 사례 3에 대한 (자연적인) 예는 없습니다! 그래서 내 질문은 : 세 가지 동적 프로그래밍 재귀 / 문제의 예는 무엇입니까?

패턴에 전혀 맞지 않는 동적 프로그래밍 알고리즘의 다른 예가 많이 있습니다.

• 가장 긴 서브 시퀀스 문제점은 1 차원 테이블 만 필요합니다.

• 테이블에 3 개 이상의 차원이 필요한 자연 동적 프로그래밍 알고리즘이 몇 가지 있습니다. 예를 들어 : 비트 맵에서 최대 영역 흰색 사각형을 찾습니다. 자연 동적 프로그래밍 알고리즘은 3 차원 테이블을 사용합니다.

• 그러나 가장 중요한 것은 동적 프로그래밍은 테이블에 관한 것이 아닙니다 . 긴장을 푸는 것입니다. 되풀이되는 되풀이가 정수 범위를 벗어나지 않기 때문에 중간 결과를 저장하는 데 사용되는 데이터 구조가 배열이 아닌 자연 동적 프로그래밍 알고리즘이 많이 있습니다. 두 가지 쉬운 예는 트리에서 가장 큰 독립 정점 세트를 찾고 두 트리의 가장 큰 공통 서브 트리를 찾는 것입니다. 더 복잡한 예는 Arora와 Mitchell의 유클리드 여행 세일즈맨 문제에 대한 근사 알고리즘입니다.$(1+\epsilon)$

Ackermann 기능 계산은이 정신에 있습니다. 을 계산하려면 큰 에 대해 및 를 알아야 합니다. 두 번째 좌표가 감소하거나 첫 번째 좌표가 감소하고 두 번째 좌표가 잠재적으로 증가합니다.A ( m , n - 1 ) A ( m - 1 , k ) $A(m,n)$$A(m,n-1)$$A(m-1,k)$$k$

열의 수는 무한하며 계산은 일반적으로 암기와 함께 하향식으로 수행되므로 요구 사항에 이상적으로 적합하지 않지만 언급 할 가치가 있다고 생각합니다.

이것은 사례 3에 정확히 맞지 않지만 귀하의 사례 중 어느 것이 동적 프로그래밍을 가르치는 데 사용되는 매우 일반적인 문제를 모를 것인지는 모르겠습니다 : Matrix Chain Multiplication . 이 문제를 해결하기 위해 (그리고 다른 많은 것들은 단지 정식적인 것입니다) 행렬을 대각선 대신 대각선으로 채 웁니다.

따라서 규칙은 다음과 같습니다.

나는 그 어리석은 예를 알고 있지만 간단한 반복 문제는

정사각 행렬의 숫자의 합을 구합니다

자격이 될 수 있습니다. 전통적인 "각 열의 각 행"종류는 귀하의 사례 3과 같습니다.

이것은 당신이 찾고있는 검색 공간이 아니지만 도움이 될 수있는 내 머리 꼭대기에 대한 아이디어를 가지고 있습니다.

문제 :

$n × n$$M$$x$$M$

대답

다음과 같은 재귀 방식으로 해결할 수 있습니다.

우리는 n × n 행렬을 가지고 있습니다. 이라고하자$k = \lceil{\frac{1+n}{2}}\rceil$$x$$m_{k,k}$$x<m_{k,k}$$m_{i,j}$$k\leq i\leq n$$k\leq j\leq n$$1/4$$x>m_{k,k}$$1/4$. 따라서 첫 번째 반복 후 검색 공간의 크기는 이됩니다.$\frac{3}{4} n^2$$x$$\left(\frac{3}{4}\right)^3 n^2$