'차이'연산이 이미 '조인'을 포함하는 쿼리 언어에 표현성을 추가합니까?

차분 연산자 (예 : EXCEPT일부 SQL 변형)는 관계 대수의 많은 기본 연산자 중 하나입니다. 그러나 차이 설정 연산자를 직접 지원하지 않지만 지원하는 LEFT JOIN(일종의 외부 조인) 데이터베이스가 있으며 실제로는 차이 설정 작업 대신 동일한 효과를 얻기 위해 사용할 수 있습니다.

이는 LEFT JOIN연산자가 유지 되는 한, 차이 설정 연산자 없이도 쿼리 언어의 표현력이 동일하다는 것을 의미합니까 ? 이 사실을 어떻게 증명할 수 있습니까?

관계형 대수에서는 먼저 왼쪽 (외부) 조인에 대한 비공식적 인 정의를 제공하고 이름 바꾸기, 선택, 조인 및 프로젝션이 차이를 구성 할 수 있으며 차이, 선택 및 조합을 사용하여 구성 할 수 있음을 증명합니다. 왼쪽 (외부) 조인. 실제로, 우리는 그것을 역순으로 끝낼 것입니다 : 차이점을 사용하여 왼쪽 조인을 구성하는 방법을 보여준 다음 왼쪽 조인을 사용하여 차이를 구성하는 방법을 보여줄 것입니다.

과 S 가 각각 schemata ( R ' , T ) 및 ( T , S ' )를 갖도록 하자 . 여기서 R ' 와 S ' 는 한 스키마의 속성 집합이지만 다른 스키마는 아니지만 T 는 공통 속성 집합입니다.$R$$S$$(R', T)$$(T, S')$$R'$$S'$$T$

보자 스키마에 대한 널 튜플 수 S ' . 즉, S '의 각 속성에 대한 모든 null 값으로 구성된 튜플 입니다. 그런 다음 왼쪽 외부 조인을 다음과 같이 정의합니다. 스키마 ( R ' , T , S ' )에 속하는 모든 튜플 ( r , t , s ) 의 집합입니다 .$w = (\epsilon, \epsilon, ..., \epsilon)$$S'$$S'$R LEFT JOIN S$(r, t, s)$$(R', T, S')$

1. 는 R 의 튜플 이고 ;$(r, t)$$R$
2. (a) 는 S 의 튜플 또는 (b) s = w 이며;$(t, s)$$S$$s = w$
3. 하면 에 대한 설정에 S ≠ w 이어서, ( R은 , t는 , w ) 세트에 있지.$(r, t, s)$$s \neq w$$(r, t, w)$

예 : 의 스키마는 ( 1 , 2 , 3 ) , S 의 스키마가 ' ( 2 , 3 , 4 ) , 우리는이 R을 = { ( 1 , 2 , 3 ) , ( 4 , 5 , 6 ) } 및 S = { ( 2 , 3 , 4 $R$$(A_{1}, A_{2}, A_{3})$$S$$(A_{2}, A_{3}, A_{4})$$R = \{(1, 2, 3), (4, 5, 6)\}$ . (1)과 (2)를 통해 중간 결과 { ( 1 , 2 , 3 , 4 ) , ( 1 , 2 , 3 , 6 ) , ( 1 , 2 , 3 , ϵ ) , ( 4 , 5 , 6) , ϵ ) } . (3)에 의해 우리는 ( 1 , $S = \{(2, 3, 4), (2, 3, 6)\}$$\{(1, 2, 3, 4),(1, 2, 3, 6), (1, 2, 3, \epsilon),(4, 5, 6, \epsilon)\}$예를 들어 ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 및 s = 4 ≠ ϵ = w 가 있으므로 , 3 , ϵ ) . 따라서 { ( 1 , 2 , 3 , 4 ) , ( 1 , 2 , 3 , 6 ) , ( 4 , 5 , 6 , ϵ ) $(1, 2, 3, \epsilon)$$(1, 2, 3, 4)$$s = 4 \neq \epsilon = w$$\{(1, 2, 3, 4), (1, 2, 3, 6), (4, 5, 6, \epsilon)\}$왼쪽 조인의 예상 결과입니다.

정리 : R LEFT JOIN S와 같습니다 (R EQUIJOIN S) UNION ((((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S)) EQUIJOIN R) JOIN w).

증명 : (R EQUIJOIN S)(1) 및 (2a)에 필요한 모든 것을 제공합니다. 우리는 (2b)와 (3)에서 요구하는 ((((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S)) EQUIJOIN R) JOIN w)모든 형태 를 제공 한다고 주장합니다 (r, t, w).

이를 확인하려면 먼저 S에 해당 튜플이없는 R(((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S)) EQUIJOIN R) 의 모든 튜플 세트입니다 . 그것을 확인하려면, 그것은 일반적인 투사하는 것은 밖으로 속성에 의해주의에 충분 R 과 S (속성 세트 T )과의 차이를 고려하여 하나 (스키마 모든 및 만 튜플로 남아 T 로 표시됩니다) R 하지만, S가 아닙니다 . 에 의해 와 R , 우리는 모든과 만 튜플 복구 R 의 속성 값이 T 에 존재하는 R 아니라에서 S를$R$$S$$R$$S$$T$$T$$R$$S$EQUIJOIN$R$$R$$T$$R$$S$; 즉, 지금까지 우리가 주장한 튜플 세트입니다.

다음으로의 스키마는 R 의 스키마 (((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S))와 동일하며 (즉, ( R ' , T ) ) w 의 스키마 는 S ' 입니다. 동작 우리는 폼의 모든 터플을 얻기 때문에 카티 제품 ( R , t , w ) 가 전혀없는 곳에 ( t , s의 ) 의 S 에 해당하는 ( R , t ) 에 R .$R$$(R', T)$$w$$S'$JOIN$(r, t, w)$$(t, s)$$S$$(r, t)$$R$

이것은 우리가에 추가 할 필요 튜플의 집합 정확하게 것을보고 R EQUIJOIN S구조에 위해가 R LEFT JOIN S, 다음 사항을 고려하십시오 건설에 의해, (3)을 만족하기 때문에, R EQUIJOIN S포함 할 수 없습니다 경우 포함 ( R , t를 , w ) (그렇다면 두 번째 부분을 포함하는 ( r , t , w ) 는 모순이 될 것입니다); 우리가 또 다른 추가한다면 ( R , t를 , 승 ) 하지에 , 다음이 될 것이다 $(r, t, s)$((((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S)) EQUIJOIN R) JOIN w)$(r, t, w)$$(r, t, w)$$(r, t, w)$((((PROJECT_T R) DIFFERENCE (PROJECT_T S)) EQUIJOIN R) JOIN w) 의 S 에 해당하는 ( R , t ) 에서의 R 과의 정의에 의해, ( R은 , t는 , s의 ) 도있을 것이다) (3 모순. 이것으로 증명이 완료됩니다.$(t, s)$$S$$(r, t)$$R$EQUIJOIN$(r, t, s)$R LEFT JOIN S

이제 왼쪽 조인을 사용하여 차이를 구성 할 수 있음을 보여줍니다.

정리 : R DIFFERENCE S에 해당PROJECT_T(SELECT_{t'=w}(R LEFT JOIN (SELECT_{s=s'}(((S JOIN RENAME_{T->T'}(S)))))))

증명 : 여기서 모든 속성이 의미를 공유하기 때문에 및 S ' 는 비어 있습니다. 첫째, 우리의 새로운 관계를 생성 S를 내의 속성 세트 복제하여 S를 (처리 와 는 튜플 구성되도록) ( t , t ' ) 속성 집합 ( T , T ' ) t = t ' (취급 ). 왼쪽 조인은 ( t , t ' ) 형식의 튜플을 남깁니다.$R'$$S'$DIFFERENCE$S$$S$RENAMEJOIN$(t, t')$$(T, T')$$t = t'$SELECT$(t, t')$여기서 또는 t ' = w 입니다. 이제 S 에도 나타나는 항목을 제거 하려면 가장 바깥 쪽에서 처리되는 ( t , w ) 형식의 튜플 만 유지해야합니다 . 마지막 은 임시 속성 세트 T '를 제거 하고 원래 스키마와의 차이점을 남겨 둡니다.$t=t'$$t'=w$$S$$(t, w)$SELECTPROJECT$T'$

예 : 및 S = { ( 3 , 4 ) , ( 5 , 6 ) , ( 7 , 8 ) }이라고 하자 . 먼저 d 속성이 T '인 S' 를 얻습니다 : { ( 3 , 4 $R = \{(1, 2), (3, 4), (5, 6)\}$$S = \{(3, 4), (5, 6), (7, 8)\}$$S$RENAME$T'$ . 이작업은 9 개의 가능한 페어링을 모두 갖춘 데카르트 제품을 제공합니다. 이 세트는 형식상의 이유로 여기에 작성되지 않았습니다. 그런다음 이것을 { ( 3 , 4 , 3 , 4 ) , ( 5 , 6 , 5 , 6 ) , ( 7 , 8 , 7 , 8 ) }로 구문 분석 합니다. 와$\{(3, 4), (5, 6), (7, 8)\}$JOINSELECT$\{(3, 4, 3, 4), (5, 6, 5, 6), (7, 8, 7, 8)\}$LEFT JOIN 은 { ( 1 , 2 , ϵ , ϵ ) , ( 3 , 4 , 3 , 4 ) , ( 5 , 6 , 5 , 6 ) }을 제공 합니다. (가)제공 { ( 1 , 2 , ε , ε ) } . 가제공 { ( 1 , 2 ) } 원하는 답.$R$$\{(1, 2, \epsilon, \epsilon), (3, 4, 3, 4), (5, 6, 5, 6)\}$SELECT$\{(1, 2, \epsilon, \epsilon)\}$PROJECT$\{(1, 2)\}$

SQL에 의해 구현 된 LEFT JOIN은 결과로 관계를 생성하지 않습니다 (결과의 일부 속성에 값이 없기 때문에).

SQL로 구현 된 LEFT JOIN 인 Ergo는 관계형 대수 연산자의 직접적인 대응 요소가 아닙니다.

Ergo, 관계 차이 연산자는 LEFT JOIN으로 표현할 수 없습니다 (LEFT JOIN은 관계 대수의 일부일 수 없기 때문에 LEFT JOIN은 관계가 아닌 것을 생성하므로 대수의 닫힘을 위반하기 때문입니다).

내가 아는 클로저 를 만족시키는 관계형 대수 의 기본 연산자 집합 에는 항상 관계형 차이 또는 관계형 반차가 포함됩니다.