데이터 스트림에서 누락 된 숫자 결정

집합 에서 쌍으로 다른 숫자 의 스트림을받습니다 . $n-1$ $\left\{1,\dots,n\right\}$

스트림을 한 번 읽고 비트 의 메모리 만 사용하는 알고리즘으로 누락 된 숫자를 어떻게 확인할 수 있습니까? $O(\log_2 n)$

algorithms integers online-algorithms

— 열
소스

답변:

알다시피 , 때문에 부호화 될 수있다 비트 이것은 메모리와 하나의 경로에서 수행 할 수 있습니다 ( 찾으십시오 .이 숫자는 누락되었습니다). $\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ $S = \frac{n(n+1)}{2}$ $O(\log(n))$ $O(\log n)$ $S - \mathrm{currentSum}$

그러나이 문제는 일반적인 경우 (상수 ) 에서 해결할 수 있습니다 . 우리는 누락 된 숫자 가 있으며 모두 알아냅니다. 이 경우 합을 계산하는 대신 모든 대해 의 j'st 거듭 제곱의 합을 계산하십시오 ( 는 누락 된 숫자이고 는 입력 숫자 라고 가정 합니다). $k$ $k$ $y_i$ $x_i$ $1\le j \le k$ $x_i$ $y_i$

$\qquad \displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^k x_i &= S_1,\\ \sum_{i=1}^k x_i^2 &= S_2,\\ &\vdots \\ \sum_{i=1}^k x_i^k &= S_k \end{align}$ $\qquad (1)$

, , ... 이므로 간단히 계산할 수 있습니다 . $S_1,...S_k$ $S_1 = S - \sum y_i$ $S_2 = \sum i^2 - \sum y_i^2$

이제 누락 된 숫자 를 찾으려면 을 풀고 모든 를 찾으십시오 . $(1)$ $x_i$

다음을 계산할 수 있습니다.

$P_1 = \sum x_i$ , , ..., . $P_2 = \sum x_i\cdot x_j$ $P_k = \prod x_i$ $(2)$

이를 위해 기억이 , , ... $P_1 = S_1$ $P_2 = \frac{S_1^2 - S_2}{2}$

그러나 는 계수 이지만 는 고유하게 인수 분해 되므로 누락 된 숫자를 찾을 수 있습니다. $P_i$ $P=(x-x_1)\cdot (x-x_2) \cdots (x-x_k)$ $P$

이것들은 내 생각이 아니다. 이것을 읽으십시오 .

— 라파엘
소스

나는 얻지 못했다 (2). 아마도 당신이 합계의 세부 사항을 추가 한 경우? 가 그리워 합니까 ?

P_{k}

$P_k$

\sum

$\sum$

— Raphael

@Raphael, 는 Newton의 정체성입니다. 참조 된 Wiki 페이지를 보면 계산 아이디어를 얻을 수 있다고 생각합니다. 각 는 이전 , 로 계산할 수 있습니다 . 간단한 공식을 기억하십시오 이면 모든 거듭 제곱에 유사한 접근 방식을 적용 할 수 있습니다. 또한 는 무언가의 시그마이지만, 에는 가 없습니다 . 가 하나뿐이기 때문입니다 .

P_{i}

$P_i$

P_{i}

$P_i$

P

$P$

S_{j}

$S_j$

2 \cdot x_{1} \cdot x_{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - (x_{1}^{2} + x_{2}^{2})

$2 \cdot x_1 \cdot x_2 = (x_1 + x_2)^2 - (x_1^2 + x_2^2)$

P_{i}

$P_i$

P_{k}

$P_k$

Σ

$\Sigma$

Π

$\Pi$

가능한 한 대답은 합리적인 수준으로 자체적으로 포함되어야합니다. 당신은 몇 가지 공식을 제공, 왜 그들을 완료하지?

— Raphael

위의 의견에서 :

스트림을 처리하기 전에, 할당 가 연락하는 비트, ( 의 이진 표현 과 이다 점별 배타적을 또는). 순진하게, 이것은 시간 이 걸린다 . $\lceil \log_2 n \rceil$ $x:= \bigoplus_{i=1}^n \mathrm{bin}(i)$ $\mathrm{bin}(i)$ $i$ $\oplus$ $\mathcal{O}(n)$

하나는 다수의 스트림마다 판독 처리시 , 컴퓨팅 . 는 의 단일 숫자라고 하자 스트림에 포함되지 않습니다. 전체 스트림을 읽은 후 $j$ $x := x \oplus \mathrm{bin}(j)$ $k$ $\{ 1, ... n\}$ 원하는 결과를 얻었다.

x = (⨁_{i = 1}^{n} b i n (i)) \oplus (⨁_{i \neq k} b i n (i)) = b i n (k) \oplus ⨁_{i \neq k} (b i n (i) \oplus b i n (i)) = b i n (k),

$x = \left(\bigoplus_{i=1}^n \mathrm{bin}(i)\right) \oplus \left(\bigoplus_{i \neq k } \mathrm{bin}(i)\right) = \mathrm{bin}(k) \oplus \bigoplus_{i \neq k } (\mathrm{bin}(i) \oplus \mathrm{bin}(i)) = \mathrm{bin}(k),$

따라서, 우리가 사용 공간 및 전반적인 실행이 . $\mathcal{O}(\log n)$ $\mathcal{O}(n)$

— HdM
소스

이것을 진정한 스트리밍 단일 패스 알고리즘으로 만드는 쉬운 최적화를 제안 할 수 있습니다 : 시간 단계

with

및 입력

을 사용하여 스트림에 도착했습니다. 이것은

미리 알지 못하는 경우에도 작동하도록 할 수있는 추가 이점이 있습니다 .

할당 된 단일 비트로 시작하고 필요에 따라 할당 된 공간을 "증가"하면됩니다.

i

$i$

x

$x$

b i n (i)

$\mathrm{bin}(i)$

b i n (j)

$\mathrm{bin}(j)$

n

$n$

x

$x$

— Sasho Nikolov

HdM의 솔루션이 작동합니다. 테스트하기 위해 C ++로 코딩했습니다. 나는를 제한 할 수 없습니다 value에 비트,하지만 난 당신이 쉽게 비트의 수는 실제로 설정되어 있는지 방법만을 보여줄 수 있어요. $O(\log_2 n)$

의사 코드를 원하는 경우 독점 또는 ( ) 로 간단한 작업을 사용하십시오 . $\text{fold}$ $\oplus$

Missing = fold (\oplus, {1, \dots, N} \cup InputStream)

$\text{Missing} = \text{fold}(\oplus, \{1,\ldots,N\} \cup \text{InputStream})$

손파 방지 : A 는 입력보다 더 많은 비트를 필요로하지 않으므로, 위의 중간 결과가 입력의 최대 비트 ( 비트 이상)를 요구하지 않습니다. 는 교환 적이며 이므로 위를 확장하고 스트림에 존재하는 모든 데이터를 쌍으로 묶으면 일치하지 않는 단일 값인 누락 된 숫자 만 남게됩니다. $\oplus$ $O(\log_2 n)$ $\oplus$ $x \oplus x = 0$

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>

using namespace std;

void find_missing( int const * stream, int len );

int main( int argc, char ** argv )
{
    if( argc < 2 )
    {
        cerr << "Syntax: " << argv[0] << " N" << endl;
        return 1;
    }
    int n = atoi( argv[1] );

    //construct sequence
    vector<int> seq;
    for( int i=1; i <= n; ++i )
        seq.push_back( i );

    //remove a number and remember it
    srand( unsigned(time(0)) );
    int remove = (rand() % n) + 1;
    seq.erase( seq.begin() + (remove - 1) );
    cout << "Removed: " << remove << endl;

    //give the stream a random order
    std::random_shuffle( seq.begin(), seq.end() );

    find_missing( &seq[0], int(seq.size()) );
}

//HdM's solution
void find_missing( int const * stream, int len )
{
    //create initial value of n sequence xor'ed (n == len+1)
    int value = 0;
    for( int i=0; i < (len+1); ++i )
        value = value ^ (i+1);

    //xor all items in stream
    for( int i=0; i < len; ++i, ++stream )
        value = value ^ *stream;

    //what's left is the missing number
    cout << "Found: " << value << endl;
}

— edA-qa mort-ora-y
소스

대신 알고리즘의 읽을 수있는 (의사) 코드를 대신 게시하십시오 (기본 건너 뛰기). 또한, 어느 정도의 정확성 증명 / 인수가 포함되어야합니다.

— Raphael

@ edA-qamort-ora-y 귀하의 답변은 독자가 C ++을 알고 있다고 가정합니다. 이 언어에 익숙하지 않은 사람에게는 볼 내용이 없습니다. 관련 구절을 찾고 그 내용을 이해하는 것은 어려운 일입니다. 읽을 수있는 의사 코드는 이것이 더 나은 대답이 될 것입니다. C ++은 컴퓨터 과학 사이트에서 실제로 유용하지 않습니다.

— Gilles 'SO- 악마 그만'

제 답변이 유용하지 않다면 사람들은 투표 할 필요가 없습니다.

— edA-qa mort-ora-y

실제로 C ++ 코드를 작성하고 테스트하는 데 시간이 걸리는 +1 불행히도 다른 사람들이 지적했듯이 그렇지 않습니다. 아직도 당신은 이것에 노력을 넣어!

— Julien Lebot

나는이 대답의 요점을 알 수 없다. 당신은 다른 사람의 해결책을 취한다. 그것은 매우 간단하고 명백히 매우 효율적이며 그것을 "테스트"한다. 왜 테스트가 필요한가요? 이것은 컴퓨터가 숫자를 올바르게 추가하는지 테스트하는 것과 같습니다. 그리고 코드에도 사소한 것이 없습니다.

— Sasho Nikolov