OR 및 MOD 게이트가있는 깊이 2 회로는 보편적이지 않습니까?

모든 부울 함수 은 깊이 2의 부울 회로 (변수, 해당 부정 및 상수 값을 통해)를 사용하여 실현할 수 있다는 것은 잘 알려져 있습니다. 제 1 레벨에 AND 게이트를 포함하고 상부 레벨에 하나의 단일 OR 게이트를 포함하고; 이것은 단순히 의 DNF 표현 입니다 . $f:\{0,1\}^n\to \{0,1\}$ $f$

회로 복잡성에 큰 관심을 갖는 다른 유형의 게이트는 게이트입니다. 일반적인 정의는 다음과 같습니다. $MOD_m$

{M O D}_{m} (x_{1}, \dots, x_{k}) = {\begin{cases} 1 & if \sum x_{i} \equiv 0 \mod m \\ 0 & if \sum x_{i} ≢ 0 \mod m \end{cases}

$\mathrm{MOD}_m(x_1,\dots,x_k)=\cases{ 1 & if $\sum x_i \equiv 0 \mod m$ \\ 0 & if $\sum x_i \not\equiv 0 \mod m$ \\ }$

이 문들은 때때로 놀라운 힘을 가지고 있습니다. 예를 들어, 모든 부울 함수는 $\mathrm{MOD}_6$ 게이트 만있는 깊이 -2 회로로 나타낼 수 있습니다 (이것은 민속적이지만 정교하게 말할 수 있습니다).

그러나 또 다른 민속은 맨 위 층에 단일 OR 게이트가 있고 맨 아래 층에 $\mathrm{MOD}_m$ 게이트가있는 회로는 ( $m$ 은 한 번만 고정되고, 특히 모든 게이트는 동일 함) 범용, 즉 값에 $m$ 대해서는 $\mathrm{OR} \circ \mathrm{MOD}_m$ 회로 로 계산할 수없는 부울 함수가 있습니다 .

이 주장에 대한 증거 또는 적어도 어떤 방향을 찾고 있습니다.

complexity-theory logic circuits

— 가디 A
소스

첫 번째 단락에서 게이트가 필요하지 않거나“모든 모노톤 부울 함수 ”라고 말해야 합니다.

— Ito Tsuyoshi

당신이 올바른지; 일반적인 가정은 변수, 부정 및 임의의 값 (modgates에 중요 함)을 입력으로 사용한다는 것입니다. 이것을 명시 적으로 작성하겠습니다.

— Gadi A

그 추측 , 입력 변수의 수에서 상이한 의 모듈러스?

n

$n$

n

$n$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

네, 죄송합니다

— Gadi A

나는 이것에 관심이있다. 최초의 민속학 사실에 대한 언급이 있습니까? 후자의 회로에서 하나의 OR 만 허용한다면 전자에서 몇 개를 허용합니까?

— Juan Bermejo Vega

부울 AND 함수를 계산할 수 없습니다. 실제로 AND 함수가 회로에 의해 계산된다고 가정하십시오 . 그런 다음 MOD 서브 회로 중 하나가 AND 기능을 이미 계산해야하므로 불가능합니다. $\text{OR} \circ \text{MOD}$

— 크리스토퍼 안스 펠트 한센
소스

아뇨, 맞아요 여기서 암시적인 가정은 n이 일정하고 mod_n 게이트를 사용하여 임의로 많은 수의 입력을 처리 할 수 있어야한다는 것입니다.

— Gadi A

@GadiA 아, 알았어. 적어도 해당 분야에 익숙하지 않은 사람들에게는 이것이 귀하의 질문에 명확하지 않았습니다. 나는 이것을 명확히해야 할 사소한 편집을했다.

— Gilles 'SO- 악마 중지'

예, 제 질문은 매우 잘못 표현되었습니다. 죄송합니다.

— 가디 A

@Gilles 여기서 어떤 팬인을 고려하는지 설명해 주시겠습니까? 나에게 문제는 왜 MOD의 서브 회로가 AND를 계산할 수 없는지 알 수 없다는 것입니다. 이 MOD와이 AND는 몇 개의 입력입니까?