셔플 알고리즘의 정확성을 증명하는 방법?

임의의 순서로 항목 목록을 생성하는 두 가지 방법이 있으며 이들이 공정하게 공정한지 (비 편향적인지) 확인하고 싶습니다.

내가 사용하는 첫 번째 방법은 전체 요소 목록을 구성한 다음 셔플을 수행하는 것입니다 (예 : Fisher-Yates 셔플). 두 번째 방법은 매번 삽입 할 때마다 목록을 셔플 링하는 반복적 인 방법입니다. 의사 코드에서 삽입 기능은 다음과 같습니다.

insert( list, item )
    list.append( item )
    swap( list.random_item, list.last_item )

나는이 특정 셔플 링의 공정성을 보여주는 방법에 관심이 있습니다. 이 알고리즘이 사용되는 곳의 장점은 약간 불공평하더라도 괜찮을 것입니다. 결정하기 위해서는 공정성을 평가할 방법이 필요합니다.

첫 번째 아이디어는이 방법으로 가능한 총 순열 대 최종 길이 집합에 가능한 총 순열을 계산해야한다는 것입니다. 그러나이 알고리즘으로 인한 순열을 계산하는 방법에 대해서는 약간의 손실이 있습니다. 또한 이것이 최선의 방법인지 또는 가장 쉬운 방법인지 확신 할 수 없습니다.

먼저 두 가지 명백하지만 중요한 가정을 가정 해 보겠습니다.

1. _.random_item 마지막 위치를 선택할 수 있습니다.
2. _.random_item확률로 모든 위치를 선택 .$\frac{1}{n+1}$

알고리즘의 정확성을 입증하려면 여기에 사용 된 것과 유사한 유도 인수가 필요합니다 .

• 싱글 톤리스트의 경우 하나의 가능성 만 있으므로 균일하게 선택됩니다.
• 원소를 가진리스트가 (모든 순열에서) 균일하게 선택 되었다고 가정하면 , 당신의 기술에 의해 얻어진 n + 1 개의 원소를 가진리스트 가 균일하게 선택되었음을 보여라 .$n$$n+1$

^{여기에서 증거는 잘못되었습니다. 올바른 증거는 아래를 참조하십시오. 나는 실수와 다음 단계 (소리가 좋은)가 교육적 일 수 있기 때문에 여기에 남겨 둡니다.}

전체 순열에 대한 논쟁은 고통스럽기 때문에 유지해야하는 로컬 (즉, 요소 ​​별) 속성을 파생시키는 것이 유용합니다. 모든 요소가 각 위치에있을 확률이 동일한 경우 순열이 균일하게 선택됩니다. 즉

$\qquad \displaystyle \mathop{\forall}\limits_{\pi \in \mathrm{Perm}_n} \operatorname{Pr}(L = \pi) = \frac{1}{n!} \quad \Longleftrightarrow \quad \mathop{\forall}\limits_{i=1}^n\ \mathop{\forall}\limits_{j=1}^n \operatorname{Pr}(L_i = j) = \frac{1}{n} \qquad (1)$

여기서 우리는 표기법의 단순성을 위해 { 1 , … , n } 을 목록에 삽입한다고 가정 합니다.$n = |L|$$\{1,\dots,n\}$

이제, 우리가 삽입 할 때 당신의 기술이 무엇을 볼 수 있도록 번째 요소. 스왑 후 세 가지 경우를 고려해야합니다.$n+1$

1. 목록에서 교환되지 않은 요소 중 하나, 즉 및 j ∈ { 1 , … , n $i \in \{1,\dots,n\}$$j \in \{1,\dots,n\}$
2. 목록의 요소 중 하나가 바뀌 었습니다. 즉, 및 j ∈ { 1 , … , n $i = n+1$$j \in \{1,\dots,n\}$
3. 새로운 요소, 즉 및 j = n + $i \in \{1,\dots,n+1\}$$j = n+1$

각 경우에 대해 요소 가 위치 i에 있을 확률을 계산합니다 . 모두 1 로 밝혀 져야한다$j$$i$ ((1)때문에 충분합니다). pn=1이라고하자$\frac{1}{n+1}$$(1)$ 은 첫 번째n 개요소중 하나가이전 목록의 임의 위치에있을 확률(유도 가설)이며ps=$p_n = \frac{1}{n}$$n$ (가정 1, 2)에의해 임의의 위치가 선택 될 확률. n 개의요소가있는 목록의 코이 스와스왑 위치 선택은독립적 인 이벤트이므로 공동 이벤트의 확률은 다음과 같습니다.$p_s = \frac{1}{n+1}$random_item$n$

$\qquad \displaystyle \operatorname{Pr}(L_i=j, i \text{ swapped}) = \operatorname{Pr}(L_i=j)\cdot \operatorname{Pr}(i \text{ swapped}) = p_np_s$

위한 . 이제 계산합니다.$i,j \in \{1,\dots,n\}$

1. 우리는 단지 오래된 요소 만을 고려합니다 . 이러한 요소 j는 위치에있는 난 과 마지막 삽입 전에 거기 경우만 제가 교환 위치로서 선택되어 있지이며 $n$$j$$i$$i$

   .$\quad \displaystyle \operatorname{Pr}(L_i = j) = p_n(1-p_s) = \frac{1}{n}\cdot\frac{n}{n+1} = \frac{1}{n+1}$

2. 여기서 우리는 이전 요소 중 하나가 마지막 위치로 바뀌 었다고 생각합니다. 요소 는 이전 위치 중 하나에 있었을 수 있으므로 j 가 i 위치에 있었고 i 가 스왑 위치로 선택된 모든 확률에 대해 합산 합니다.$j$$j$$i$$i$

   .$\quad \displaystyle \operatorname{Pr}(L_{n+1} = j) = \sum_{i=1}^n p_np_s = \sum_{i=1}^n \frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n+1} = \frac{1}{n+1}$

3. 새 요소는 i 가 교체 위치로 선택된 경우에만 위치 에서 끝납니다.$i$$i$

   .$\quad \displaystyle \operatorname{Pr}(L_i = j) = p_s = \frac{1}{n+1}$

삽입 전략은 실제로 균일 성을 유지합니다. 유도의 힘으로, 알고리즘이 균일하게 분포 된 순열을 생성 함을 증명합니다.

^{경고의 한마디 : 삽입 된 요소가 서로 다른 조합이 아닌 경우이 증명은 분해됩니다. 그 이유는 첫 번째 방정식이 더 이상 유효하지 않기 때문입니다. 그러나 알고리즘은 여전히 ​​유효합니다. 중복이있는 모든 순열은 동일한 수의 임의 실행으로 생성됩니다. 중복을 표시하여 (즉, 구별 가능하게)이를 증명하고, 위의 증명을 수행하고, 표시를 사실상 제거 할 수 있습니다. 마지막 단계는 동일한 크기의 순열 세트를 동일하게 축소합니다.}

스티븐 이 주석에서 올바르게 언급 했듯이 , 위의 증거는 근본적으로 이 보유하지 않기 때문에 결함이있다 . 오른쪽을 충족하지만 왼쪽 ¹을 충족시키지 않는 순열 세트에 분포를 구성 할 수 있습니다.$(1)$

따라서 순열의 확률을 다루어야 할 것입니다. 결국 그다지 나쁘지 않은 것으로 판명되었습니다. random_item포스트의 시작 부분에 요약 된 가정과 유도 구조는 그대로 유지됩니다. 하자 후리스트 나타내는 { 1 , ... , K가 } 삽입되어있다.$L^{(k)}$$\{1,\dots,k\}$

이 { 1 , … , n + 1 } 의 임의 순열 이라고하자 . 다음 과 같이 고유하게 쓸 수 있습니다.$\pi' \in \mathrm{Perm}_{n+1}$$\{1,\dots,n+1\}$

$\qquad \displaystyle \pi' = (\pi(1), \pi(2), \dots, \pi(i-1), n+1, \pi(i+1), \dots, \pi(n), \pi(i))$

$\pi \in \mathrm{Perm}_n$$i \in \{1,\dots,n+1\}$$\operatorname{Pr}(L^{(n)} = \pi) = \frac{1}{n!}$random_item$i$$\frac{1}{n+1}$$\pi$$i$

$\qquad \displaystyle \operatorname{Pr}(L^{(n+1)} = \pi') = \operatorname{Pr}(L^{(n)} = \pi) \cdot \operatorname{Pr}(i \text{ swapped}) = \frac{1}{(n+1)!}$

which we had to show. By the power of induction, that proves that your algorithm creates uniformly distributed permutations.

1. For example, assign every permutation in $\{(1, 2, 3, 4), (2, 3, 4, 1), (3, 4, 1, 2), (4, 1, 2, 3)\}$ probability $\frac{1}{4}$ and all others $0$. There are also examples that assign every permutation a non-zero probability.