그래프 채색 문제의 NP- 완전성

대체 제제

아래 문제에 대한 대체 공식을 생각해 냈습니다. 대체 공식은 실제로 다음과 같은 문제의 특별한 경우이며 이분 그래프를 사용하여 문제를 설명합니다. 그러나, 대안적인 제제는 여전히 NP-hard라고 생각합니다. 대체 공식은 문제 정의를 단순화하는 분리 된 수신 및 발신 노드 세트를 사용합니다.

을 감안할 때 나가고 수신 노드 (각각 그림에서 빨간색과 파란색 노드) 및 설정 '크기에요 발신 및 수신 정점 사이의 에지 무게의. 문제의 목표는 모든 들어오는 노드에 대해 조건이 유지되도록 그림의 두꺼운 가장자리를 색칠하는 것입니다. $n$ $n$ $w_{ij}$ $n \times n$

문제의 이분 그래프

주어진 세트출력 정점의 , 세트 입력 정점, 가중치 사이 의 및 위해 '들 , 포지티브 상수 , 찾기 모든 에 대해 모서리 (위 그림에서 두꺼운 모서리) 의 최소 색상 수 , $\{ O_i \; | \; i=1 \dots n \}$ $\{ I_i\; | \; i=1 \dots n \}$ $n \times n$ $w_{ij} \ge 0$ $O_i$ $I_j$ $i,j=1 \dots n$ $\beta$ $e_{ii}$ $j=1 \dots n$

$\frac{w_{j j}}{1 + \sum_{c (i) = c (j), i \neq j} w_{i j}} \geq β$ $\frac{w_{jj}}{1+\sum_{c(i)=c(j),i \neq j} w_{ij}} \ge \beta$
여기서 는 가장자리 의 색상을 나타냅니다 . $c(i)$ $e_{ii}$

올드 포 뮬레이션

다음 문제는 NP 하드처럼 보이지만 표시 할 수 없었습니다. 그것의 경도 또는 용이함을 나타내는 모든 증거 / 의견이 인정된다.

가정 함께 전체 가중 관한 그래프 노드와 가장자리. 보자 에지의 중량 표시 및 방송 가장자리의 색 . 가장자리 와 양의 상수 의 하위 집합이 주어지면 목표는 다음과 같습니다. 각 에 대해 최소 색상 수를 찾습니다 . $K_n=\langle V,E \rangle$ $n$ $n(n-1)$ $w_{ij} \ge 0$ $ij$ $c(ij)$ $ij$ $T \subseteq E$ $\beta$ $e_{ij} \in T$

$\frac{w_{i j}}{1 + \sum_{c (k l) = c (i j), k l \neq i j} w_{k j}} \geq β .$ $\frac{w_{ij}}{1+\sum_{c(kl)=c(ij),kl \neq ij} w_{kj}} \ge \beta.$ 및 $c (i j) \neq c (i k) f o r j \neq k$ $c(ij) \neq c(ik) \quad for \quad j \neq k$

위의 문제에서 의 가장자리 만 색칠하면됩니다. 이것이 에서 해결할 수있는 문제입니다 . $T$ $\mathcal{O}(|T|!)$

최신 정보:

Ito Tsuyoshi의 의견을 듣고 문제를 업데이트했습니다. 분모가 에서 입니다. 따라서 분모에는 외부의 가중치 도 포함됩니다. 이것이 실제로 정의에서 완전한 그래프를 언급 한 이유입니다. $1+\sum_{c(kj)=c(ij),k \neq i,e_{kj} \in T} w_{kj}$ $1+\sum_{c(kl)=c(ij),kl \neq ij} w_{kj}$ $T$

또한 에 대한 추가 제약 조건 . 즉, 노드에서 나가는 가장자리의 색상이 달라야합니다 (그러나 들어오는 색상은 부등식이 유지되는 한 동일 할 수 있음). 이것은 색상의 수에 직관적 인 하한을 두며, 이는 의 노드의 최대 입니다. $c(ij) \neq c(ik) \quad for \quad j \neq k$ $T$

Tsuyoshi가 언급했듯이 's, 및 는 문제에 대한 입력이고 가장자리 색상은 출력입니다. $w_{ij}$ $T$ $\beta$

업데이트 2 :

가장자리 와 의 색이 동일 하지 않은 문제가 있습니다. $e_{ij}$ $e_{ji}$

— 헬륨
소스

@Raphael : 일반적으로 가장자리 색소 문제는 축소의 좋은 후보로 보입니다. 감소를위한 가장 간단한 np-hard 문제를 찾는 것이 가장 어려운 부분입니다. 다음 단계는 매핑에 적합한 가중치를 찾는 것입니다. 가장자리 채색 문제가 위의 문제로 줄어들면 가중치는 0/1과 같거나 가중치를 찾기 위해 불평등 시스템을 해결해야합니다.

— 헬륨

문제의 공식화에 대한 몇 가지 의견 : (1) 입력이란 무엇입니까? 모든 모서리, T 및 β에 대한 입력이 w_ij라고 생각하지만, 그렇다면 동일한 방식으로 주어진 것처럼 w_ij와 c (ij)를 정의해서는 안됩니다. (2) 내가 작성한 것을 이해함에 따라 T 외부의 가장자리는 언급되지 않습니다. 따라서 완전한 직접 그래프를 고려하는 대신 T의 모서리로 구성된 직접 그래프를 정의하는 것이 더 간단합니다.

— 이토 쓰요시

@TsuyoshiIto : 귀하의 의견에 감사드립니다. 질문을 업데이트했습니다.

— Helium

그건 그렇고, 문제는 나에게 매우 지저분 해 보인다. 이 문제에 도달 한 방법 (즉,이 문제에 관심이있는 이유)을 설명하면 다른 사람들이 문제를 이해하는 데 도움이 될 수 있습니다.

— 이토 쓰요시

@TsuyoshiIto : 1) 문제는 무선 애드혹 네트워크에서 스케줄링하는 특별한 경우입니다. 는 전송 세트를 나타내고 가중치는 신호 감쇠 계수를 나타냅니다. 주먹 구속 조건은 또한 신호 대 간섭과 잡음비를 의미합니다. 2)“분모에는 T의 모서리 가중치 만 포함됩니다”가 삭제되었습니다.

T

$T$

— Helium

대체 제제가 NP-hard임을 나타내는 것은 매우 간단하다. 정점 색소 문제로 인한 감소입니다. 그래프와 G 주어 정점을, 우리는 함께 상기 문제 인스턴스를 생성 출력 정점과 입력 정점. 가중치는 다음과 같이 설정됩니다. 모든 에 대해 . 들면 꼭지점 사이의 에지가있는 경우, 및 정점 , 보자 또, 보자 . 또한 보자 . $n$ $n$ $n$ $i$ $w_{ii}=1$ $i \neq j$ $i$ $j$ $w_{ij}=w_{ji}=1$ $w_{ij}=w_{ji}=0$ $\beta=1$

이것은 분명하지만 명백한 이유를 설명하기는 어렵습니다. 하자 그래프 착색 인스턴스 표시 문제 인스턴스의 환원을 나타낸다. 위의 축소를 통해 올바른 해결책을 제시하려면 (1) 모든 유효한 색상 이 에도 유효한 것으로 표시해야합니다. (2) 의 대답 은 대해 최소입니다 . $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$

경우 와 두 개의 인접한 정점입니다 , 그들은 서로 다른 색상이 있어야합니다 . 그 경우 때문이다 와 인접한 그들이 동일한 색상을 가지고, 분획 는 되며 여기서 는 양수입니다. 따라서 조건이 유지되지 않습니다. 또한 대한 모든 유효한 (최소한은 아니지만) 채색은 에도 유효한 채색입니다 . 그것은 의 유효한 채색에서 $i$ $j$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $i$ $j$ $\frac{w_{jj}}{1+\sum_{c(i)=c(j),i \neq j} w_{ij}}$ $\frac{1}{1+X}$ $X$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$

— 헬륨
소스

$c(ij)=c(ji)$ $T$ $0$

$G=(V,E)$ $D=(V,A)$ $\forall uv\in E$ $(u,v)$ $(v,u)$ $A$ $a \in A$ $w_{a} = 1$ $\forall xy \notin E$ $(x,y)$ $(y,x)$ $A$ $w_{xy}=w_{yx}=0$ $\beta$ $1$ $T=A$

$0$

$k$ $NP$

$NP$

— 루크 매티 슨
소스

c (ij) = c (ji)를 어떻게 적용합니까? 내가 올바르게 이해한다면 문제의 문제에 반드시 해당되는 것은 아닙니다.

— Ito Tsuyoshi

좋은 지적. 문제를 기록하기 위해 원본 게시물을 편집하겠습니다.

— Luke Mathieson