이 기능이 왜 계산 가능한가?

내 교과서는 말합니다 : "우리는 함수를 정의합니다 $f\colon \mathbb{N}\to\mathbb{N}$ 다음과 같이 : $f(1)=2$ 과 $f(i+1)=2^{f(i)^{1.2}}$. 주어진 참고$n$우리는 쉽게 찾을 수 있습니다 $O(n^{1.5})$ 숫자를 시간 $i$ 그런 $n$ 사이에 끼어있다 $f(i)$ 과 $f(i+1)$"

우리가 실제로 쉽게 찾을 수 있다고 스스로를 설득하는 방법 $i$ 에 $O(n^{1.5})$시각? 같이$f$ 재귀 적으로 정의됩니다. 우리는 계산해야한다고 생각합니다. $f(1),f(2),f(3)\dots f(j)$ ...까지 $f(j)\geq n$. 이러한 계산에 걸리는 시간을 알기 위해서는 적절한 상한을 찾아야한다고 생각합니다.$i$ 에 의존 $n$ 함수 실행 시간의 상한을 찾아야합니다 $x\to2^{x^{1.2}}$. 결국, 우리는 인용 된 제안을 희망적으로 보여줄 수 있습니다. 불행히도, 나는 하나도 다른 것도 보지 못합니다.

언급을 잊었습니다. 우리는 비 결정적 맥락에 있습니다. 그래서$f$ 에 계산할 수 있다고 주장 $O(n^{1.5})$ 비 결정적 튜링 머신에 의해.

상당수의 사람들이 이미이 질문을 읽었으므로, 그들 중 일부는 유용하고 흥미로운 것을 발견했지만 아직까지 아무도 대답하지 않았습니다. 비 결정적 시간 계층 정리. 증명 (클레임 포함)은 Arora와 Barak 의 책 에서 찾아 볼 수 있지만, 웹에서도 같은 증명을 제공하는 다른 자료를 많이 발견했습니다. 이러한 각각의 주장을 쉽게 또는 사소한 주장하고 찾는 방법에 대해 자세히 설명하지 않습니다$i$ 에 $O(n^{1.5})$시각. 따라서 Arora와 Barak에서 방금 복사 한 이러한 모든 리소스 또는 주장은 실제로 그렇게 어렵지 않습니다.

에 의해 표시 $|x|$ 숫자의 길이 $x$즉 $\lfloor \log_2 x \rfloor + 1$ (에 대한 $x > 0$). 계산$2^x$ 시간이 필요하다 $O(x)$ RAM 모델에서 $f(i+1)$ ...에서 $f(i)$ 시간이 걸리다 $O(f(i)^{1.2}) = O(|f(i+1)|)$. 이후$f(i)$ 전체적으로 계산하는 데 걸리는 시간보다 기하학적으로 빠르게 성장하고 있습니다. $f(i+1)$ 이다 $O(|f(i+1)|)$. 당신이 지적한대로, 당신은 때까지 그렇게해야$f(i+1) \geq n$, 의미하는 것은 $f(i) < n$. 따라서 총 실행 시간은$O(|f(i+1)|) = O(f(i)^{1.2}) = O(n^{1.2})$.

단일 테이프가있는 튜링 머신 모델에서 $2^x$ 시간이 걸리다 $O(x\log x)$총 작동 시간은 $O(n^{1.2} \log n) = O(n^{1.5})$. 컴퓨팅 알고리즘$2^x$ 대체 $[x]$ 으로 $1[[x]]$ (여기 $[x]$ 이진 표현입니다 $x$, $[[x]]$ 다른 숫자를 사용하는 이진 표현 $0',1'$)을 반복적으로 실행합니다. $[[x]] \longrightarrow 0[[x-1]]$시간이 걸리는 $O(|x|) = O(\log x)$.