최대 3 개 주를 가진 DFA에서 정규 언어를 사용할 수 없음

주가 3 개 밖에없는 DFA에서는 받아 들일 수없는 일반 언어를 설명하십시오.

나는 어디에서 이것을 시작할 지 확신하지 못하고 누군가 나에게 몇 가지 팁이나 조언을 줄 수 있는지 궁금해했다. 나는 펌핑 보조 정리가 언어가 규칙적이지 않다는 것을 증명하기 위해 사용될 수 있다는 것을 이해하지만,이 경우에는 정규 언어 여야합니다. 누구든지 생각이 있다면 감사하겠습니다.

펌핑 보조기구는 DFA의 상태 수를 고려하여 언급 될 수 있습니다. p 상태 의 DFA에서 허용하는 모든 언어 은 다음과 같은 펌핑 보조 법을 충족합니다.$L$$p$

길이가 p 이상인 각 단어 는 w = x y z 로 나눌 수 있습니다 . 여기서 | x y | ≤ p 및 | y | ≥ 1 ,되도록 X , Y 나 Z ∈ L 모든 I ≥ 0 .$w$$p$$w=xyz$$|xy| \leq p$$|y| \geq 1$$xy^iz \in L$$i \geq 0$

이 특성화를 사용하여 언어 에 p + 1 상태 가 필요 하다는 것을 증명할 수 있습니다 .$\{0^p\}$$p+1$

또 다른 방법은 Myhill-Nerode 정리를 사용하는 것입니다. 두 단어는 있다 inequivalent (일부 언어에 대해 L 일부 단어 용 경우) Z 중, X , Z ∈ L 과 Y Z ∉ L 또는 그 반대. 마이 힐 - Nerode 정리가 있다면한다고 P 페어의 inequivalent 단어, 그때마다 DFA L은 적어도이 페이지의 상태를. 예 L = { 0 p }의 경우 p + 1을 찾을 수 있습니다.$x,y$$L$$z$$xz \in L$$yz \notin L$$p$$L$$p$$L = \{0^p\}$$p+1$쌍으로 등가가 아닌 단어, 즉 .$\epsilon,0,\ldots,0^p$

유발의 대답은 훌륭합니다. 그가 묘사 한 것의 더 간단한 공식은 유한 한 오토마타가 임의로 높게 계산할 수없고, 그들이 계산할 수있는 양은 오토마타의 수 상태에 의해 제한된다는 것입니다. 더 정확하게 말하면, 오토마타가 로 계산 되려면 p + 1 상태가 필요합니다 (한 상태는 0 ).$p$$p+1$$0$

본질적으로 펌핑 보조 정리의 전체 아이디어입니다. 줄이 실제로 길면 유한 오토마타는 계산 된 횟수를 잊어 버리고 다시 시작해야하므로 걱정하지 않고 섹션을 반복해서 반복 할 수 있습니다 .

따라서 단어의 유효성을 검사하기 위해 3을 세는 정규 언어는 크기가 3 인 유한 오토마타로 설명 할 수 없습니다.

그런 언어를 생각할 수 있습니까? (교수에서는 펌핑 보조 정리에 대한 이해가 당연한 것으로 여겨지지만 교수는이 계산 논증을 입증하기를 기대할 수도 있습니다)

$a^3 a^*$$a^3$

또 다른 아이디어, 대각선 화 ! 3 개 또는 3 개 국가의 DFA를 모두 열거하고 이들을 모두 조합 한 다음 보완합니다. 이것은 정규 언어 작업 마감에 의한 DFA입니다. 이것은 알고리즘을 통해 구성 될 수 있지만 질문은 설명 만 요구합니다 .