임의의 선에 대해 다각형이 모노톤인지 어떻게 테스트합니까?

정의 , • 다각형 평면에서이 직선에 대한 모노톤라고 L 의 경우 직교 모든 라인, L의 교차의 P 최대 두 번.$P$$L$$L$$P$

다각형 주어 , 어떤 광고가 존재하는지 결정하는 것이 가능하다 L 같은 다각형 것을 P는 에 대하여 인 단조를 L ? 그렇다면 어떻게?$P$$L$$P$$L$

이전에, 나는 물었다 관련 질문 (I 다각형이 특정 라인에 대한 모노톤인지 확인하는 방법을 질문)하지만 때 지금은 경우에 관심이 되어 있지 주어진 또는 사전에 지정했습니다.$L$

것이 가능하다.

다각형을 고려하고 "오목"정점을 고려하십시오. 어떤 선이 다각형과 두 번 이상 교차 할 것인지를 정확하게 정의합니다. 다음 그림에서 금지 각도의 간격 (빨간색)을 표시했습니다. 그것들을 모아서 빨간색 디스크에 구멍이 보이면 승인 된 각도 (파란색)가 있습니다. 그런 다음 다각형은 기울기 (녹색)의 선에 대해 단조롭습니다 .$δ$$-1/\tan δ$

이제 알고리즘입니다.

하자 될 다각형의 정점 번째. 먼저 모서리 의 절대 각도 와 꼭짓점 의 내부 각도 를 계산하십시오 . 모든 우수한 프로그래밍 언어로 제공 되는 기능을 사용하십시오 .$v_i=(x_i, y_i)$$i$$α_i$$(v_iv_{i+1})$$β_i$$v_i$atan2

$$α_i=\mbox{atan2}(y_{i+1}-y_i,x_{i+1}-x_i)$$ $$β_i = α_{i+1}-α_i+ \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{ if } α_{i+1} ≥ α_i \\ 2π & \mbox{ if } α_{i+1} < α_i \\ \end{array} \right.$$

정점이 반 시계 방향이 아닌 경우, 즉 가 음수가 아닌 경우 정점의 순서를 . ( : 시계 반대 방향, : 시계 방향).$s=\sum_i β_i-nπ$$s=-2π$$s=2π$

다음은 보다 큰 내부 각도 , 에만 해당됩니다 . 내 사진의 빨간 것들. 목표는 모듈로 없는 각도 를 찾는 것입니다 . 즉, 모든 대해 :$m$$π$$β_j>π$$δ$$∪_j[α_{j+1},α_j]$$π$$j$$β_j>π$

$$(δ<α_{j+1} ∨ α_j<δ) \mbox{ if } α_{j+1}<α_j$$ $$(α_j<δ<α_{j+1}) \mbox{ if } α_j<α_{j+1}$$

여기서 는 에서 정규화 된 값입니다 . 두 번째 경우는 초과하는 간격에 해당합니다 (이번 는 "내부"여야 함).$α_j$$α_j$$[0,π)$$π$$δ$

이하지만 하나를 할 수있는 빠른 방법 아마이 값을 정렬 할 수 있습니다 로 및 테스트하는 .$O(n^2)$$α_j\mbox{ mod }π$$γ_1,…γ_m$$δ∈\{\frac{γ_1}2,\frac{γ_1+γ_2}2,…,\frac{γ_{m-1}+γ_m}2,\frac{γ_m+π}2\}$

를 찾으면 이 존재하고 기울기 입니다. 그렇지 않으면 는 단조롭지 않습니다.$δ$$L$$-1/\tan δ$$P$