가중치 그래프의 최소 스패닝 트리에 주어진 가중치와 동일한 수의 가장자리가 있습니까?

가중 그래프 에 두 개의 서로 다른 최소 스패닝 트리 및 가있는 경우 모든 모서리 에 가중치가 동일한 의 모서리 수는 입니다 (포함 자체)의 에지의 수와 동일하다 동일한 가중치 ? 진술이 사실이라면 어떻게 증명할 수 있습니까? $G$ $T_1 = (V_1, E_1)$ $T_2 = (V_2, E_2)$ $e$ $E_1$ $E_1$ $e$ $e$ $E_2$ $e$

graph-theory spanning-trees weighted-graphs

— 아덴 동
소스

까다 롭지 만 실행 가능한 방법 중 하나는 1) Kruskal의 알고리즘이 모든 최소 스패닝 트리를 생성 할 수 있고 2) Kruskal이 발견 한 모든 최소 스패닝 트리가 동일한 에지 가중치 다중 집합을 가지고 있음을 보여주는 것입니다.

— Raphael

답변:

주장 : 그렇습니다. 그 진술은 사실입니다.

증거 스케치 : 하자 $T_1,T_2$ 에지 체중 멀티 세트 두 최소 스패닝 트리 수 $W_1,W_2$ . $W_1 \neq W_2$ 가정 하고 대칭 차이 를 나타냅니다 . $W = W_1 \mathop{\Delta} W_2$

$e \in T_1 \mathop{\Delta} T_2$ $w(e) = \min W$ $e$ $e \in T_1 \mathop{\Delta} T_2$ $\min W$ $\min W \notin W$ $e \in T_1$ $T_1$ $\min W$ $T_2$

이제 모든 가장자리 고려 컷도 있습니다 에 의해 유도되는 에 . 에지가있는 경우 동일하게 가중치가 갖고있는 , 업데이트 사용하여 대신 ; 새 트리는 여전히 과 동일한 에지 가중치 다중 집합을 갖는 최소 스패닝 트리입니다 . 이 인수를 반복하여 를 두 요소로 축소 하여 모든 단계에서 후보 세트에서 하나의 모서리를 제거 합니다. 따라서 우리는 $T_2$ $C_{T_1}(e)$ $e$ $T_1$ $e'$ $e$ $T_1$ $e'$ $e$ $T_1$ $W$ $e$ $T_2 \cap C_{T_1}(e)$ (여기서 은 업데이트 된 버전 임) 이외의 가중치가 있습니다 . $T_1$ $w(e)$

이제 우리는 항상 선택할 수 있습니다 우리가 바꿀 수 있도록 및 우리는 새로운 스패닝 트리를 만들 수 있습니다 즉, ¹ $e' \in C_{T_1}(e) \cap T_2$ $e$ $e'$

$\qquad \displaystyle T_3 = \begin{cases} (T_1 \setminus \{e\}) \cup \{e'\}, &w(e') \lt w(e) \\[.5em] (T_2 \setminus \{e'\}) \cup \{e\}, &w(e') \gt w(e) \end{cases}$

및 보다 작은 중량을 가지며 ; 이것은 최소 스패닝 트리로 의 선택과 모순 됩니다. 따라서 입니다. $T_1$ $T_2$ $T_1,T_2$ $W_1 = W_2$

가 발생한 노드 는 경로 연결된 . 는 의 고유 한 경계입니다 . $e$ $T_2$ $P$ $e'$ $P \cap C_{T_1}(e)$

— 라파엘
소스

Dave의 의견을 참조하여 0) TikZing 후 잘못된 예가 있다고 생각한 후 1) 진술을 증명하려고하지만 실패합니다. 증명이 실패하고 다시 실패한 위치를 기반으로하며 마지막으로 3) 이러한 새로운 예제가 증명을 제시하는 데 실패한 방식을 사용합니다. 그것은 아마도 그것이 가능한 한 세련되지 않은 이유 일 것입니다.

— Raphael

찬성 정확하게, 나는에 의해 유도 CYT 무엇을 의미하는지 이해하지 못하는 에 단지처럼 상처를 보았다 I 컷

e

$e$

T_{1}

$T_1$

(S, V - S)

$(S,V-S)$

— dragoboy

@dragoboy 제거하면 연결이 끊어집니다. ; 하나의 구성 요소는 형성 하고 다른 구성 요소 는 보완을 구성합니다.

e

$e$

T_{1}

$T_1$

S

$S$

— Raphael

다음은 다른 matroid에서도 작동하는 약간 더 간단한 주장입니다. (이 질문은 다른 질문에서 보았습니다 .)

가장자리 가 이라고 가정합니다 . 일반성을 잃지 않고 가중치 함수 가 값을 취 한다고 가정하면, 우리는 대한 세트 로 의 파티션을 갖습니다 . 비어 있지 않은 의 수 와 의 꼭짓점 수 을 유도 할 수 있습니다 . 대한 및 , 문은 분명하다. $G$ $m$ $w$ $[m]$ $E$ $E_i := w^{-1}(i)$ $i\in [m]$ $j$ $E_i$ $n$ $G$ $j=1$ $n$

matroids에 대한 표준 사실은 모든 MST 에 대해 욕심 알고리즘이 생성하도록 에 의해 유도 된 순서의 선형 확장이 있다는 것 입니다. $T$ $w$ $T$

인덕션을 닫으려면 를 가 비어 있지 않도록 가장 큰 숫자로 . 설정 . 선형 확장은 모든 모서리 앞에 모든 모서리를 넣는 것을 관찰하십시오 . 사실에 따르면, 모든 MST는 에 의해 유도 된 하위 그래프 의 스패닝 포리스트 와 일부 가장자리로 됩니다. 유도 가설함으로써, 각 연결 컴포넌트 각각의 에지의 수가 동일 갖는다 위한 . 모든 선택부터 $t$ $E_t$ $E' = E_1 \cup \cdots \cup E_{t-1}$ $w$ $E'$ $E_t$ $F$ $E'$ $E_t$ $F$ $E_i$ $i < t$ $F$ 크기가 를 완성하는 데 필요한 에서 스패닝 트리 까지의 가장자리 수는 의 선택과 무관 하며 완료됩니다. $E_t$ $F$ $F$

— 루이스
소스

MST 문제에 대한 matroid를 줄 수 있습니까 ? 나는 생각해 내기가 힘들다는 것을 기억하고 있으며, 아직 (엄격하게) 그것을 보지 못했습니다. 그렇습니다. 우리는 탐욕스러운 알고리즘을 사용하지만 matroid 이론 의 (표준적인) 탐욕은 아닙니다 .

— Raphael

즉, Kruskal 알고리즘의 정확성과 모든 MST 가 가중치 다중 집합의 특정 (정렬 된) 순열을 사용하여 Kruskal 실행에서 얻을 수 있다는 사실에 의해 핵심 논거가 작동하고 (매트 로이드가 전혀 필요하지 않음) 생각합니다. 엄격한 증거 보류 중), 주장은 다음과 같습니다. 나는 주장 자체를 사용하지 않고 Kruskal이 왜 모든 MST를 찾아야하는지 명확하지 않다. 하나가 있다면 분명히 했다 다른 체중 MULTISET을, 크루스 칼은 그것을 찾을 수 없을 것입니다!

— Raphael

1. matroid는 그래픽 matroid입니다. 끝난!

— Louis

2. 당신은 혼란스러워합니다. 추상적으로 우리는 기본 폴리 토프에 대해 선형 최적화를 수행하고 있습니다. matroids의 표준 특성 중 하나는 욕심 많은 알고리즘이 모든 가중치에 대해 작동한다는 것입니다. 모든

최소 스패닝 트리는이 폴리 토프의면의 정점입니다. 이제 LP의 표준 아이디어는 내가 언급 한 표준 사실로 이어집니다.

w

$w$

— Louis

1. 당신은 참조를 줄 수 있습니까? 나도 몰라 그래픽 matroid합니다. 2. 이제 LP도 여기에 끌어다 놓습니다! 내가 말하는 것은 당신의 대답에 matroid가 없으며 matroid가 없으면 추론 자체가 주장 자체에 의존하는 것 같습니다. 그 주위에 방법이 있다면, 답변을 편집 / 명확하게하십시오.

— Raphael