쓰기 방지 입력이있는 단일 테이프 튜링 기계는 일반 언어 만 인식합니다

여기 문제가 있습니다 :

입력 문자열이 포함 된 테이프 부분에 쓸 수없는 단일 테이프 Turing Machine은 일반 언어 만 인식한다는 것을 증명하십시오.

내 생각은이 특정 TM이 DFA와 동등하다는 것을 증명하는 것입니다.

이 TM을 사용하여 DFA를 시뮬레이션하는 것은 매우 간단합니다.

그러나이 DFA를 사용하여 TM을 시뮬레이션하려고 할 때 문제가 발생합니다. TM 전이 경우 DFA는 테이프를 오른쪽으로 읽고 동일한 상태 전이를 수행하여 정확하게 시뮬레이션 할 수 있습니다.$\delta(q,a)=(q',a,R)$

를 들어 , 나는 DFA는 왼쪽으로 읽어 가게에 더 스택 또는 뭔가가 없기 때문에 왼쪽 이동을 시뮬레이션이 DFA 또는 NFA를 사용하는 방법을 알아낼 수 없습니다.$\delta(q,a)=(q',a,L)$

다른 방법을 고려해야합니까? 누구든지 힌트를 줄 수 있습니까? 감사.

소개

질문의 원래 진술에 오류가 있다고 생각했으며 OP는 더 이상 묻지 않았습니다. 그래서 나는 테이프가 어느 곳에서나 읽기 전용이라고 가정했으며, 테이프를 쓸 수 있다면 TM이 테이프의 입력 부분 밖에서 최대 튜링 파워를 가지고 있다는 사실에 동기를 부여하여 그 가정에 근거한 첫 번째 증거를 작성했습니다. 모든 RE 언어를 인식 할 수 있다고 생각합니다.

그러나 이는 사실이 아닙니다. 테이프의 입력 부분에 대한 쓰기 제한은 테이프의 해당 부분의 시작 및 종료 상태 수에 의해 제한된 정보 만 입력에서 추출 할 수 있음을 의미합니다. 출입 측면). InstructedA 는 RE 언어를 인식하는 데 문제가 있다는 의견에 의견 을 표시해야합니다. 원래 입력 영역에 기록하지 않고 입력 사본을 만들 수 없기 때문입니다.

따라서 테이프의 입력 섹션 만 읽기 전용이고 나머지는 읽기 / 쓰기가 가능하다고 가정하는 두 번째 증거를 작성했습니다.

두 번째 증명을 이해하는 것이 필요하지 않지만 더 복잡하고 두 번째 증명에 의해 포함되어 있지만 첫 번째로 해결책을 찾는 데 도움이되었으므로 두 가지 증명을 모두 여기에 유지하고 있습니다. 건너 뛸 수 있습니다. 그러나, 더 약한 증거는 건설적이라는 장점이 있지만 (튜링 머신과 동등한 FSA를 얻기 위해) 더 일반적인 결과는 건설적이지 않습니다.

그러나 나는 마지막으로 더 강력한 결과를 먼저 제공하고 있습니다. 증거가 없어도 인터넷상의 다른 곳이나 유능한 사용자에게 요청 하여이 결과를 찾을 수 없다는 사실에 약간 놀랐으며 게시 된 작업에 대한 언급은 환영받을 것입니다.

내용:

• 입력을 덮어 쓰지 않는 튜링 머신은 일반 언어 만 허용합니다. 이 증거는 건설적이지 않습니다.

• 읽기 전용 테이프가있는 튜링 기계는 일반 언어 만 허용합니다. 이전의 증거로 가정하여 건너 뛸 수 있지만 다른 접근 방식을 사용하므로 건설적인 장점이 있습니다.

입력을 덮어 쓰지 않는 튜링 머신은 일반 언어 만 허용합니다

TM은 입력을 덮어 쓰지 않고 입력에서만 읽지 만 TM은 테이프의 나머지 부분을 읽고 쓸 수 있습니다 . 증거는 알려지지 않은 입력에 대한 TM의 관찰 행동이 유한 한 수의 다른 경우 만 생성 할 수 있다는 사실에 의존합니다. 따라서 TM은 테이프의 나머지 부분에만 의존하여 완전한 Turing 성능을 갖지만 모든 문자열이 될 수있는 입력 정보 는 유한하므로 유한 한 수의 다른 값에서만 계산할 수 있습니다. 사례. 이것은 정규 언어의 유한 한 성격에 대한 다른 견해를 보여줍니다.$\Sigma^*$

TM이 수락 상태로 들어갈 때 수락한다고 가정합니다.

증명.

우리는 입력 제한 계산 (IRC) 을 TM의 (읽기 전용) 계산으로 정의하여 TM 헤드가 테이프의 입력 부분에 머 무르도록합니다. 입력 영역의 왼쪽 또는 오른쪽.

계산 제한 좌측 입력 IRC를이라는 입력의 좌측의 기호에 시작. 계산 제한된 오른쪽 입력 IRC를 인 입력 심볼의 우측에서 시작있다.

먼저 상태 에서 시작하는 왼쪽 입력 제한 계산의 경우 다음 언어가 규칙적 임을 증명합니다 .$p$

• 상태 에서 시작 하여 상태 에서 가장 왼쪽 입력 심볼의 첫 번째 셀 왼쪽에서 끝나는 왼쪽 입력 제한 계산이 있도록 입력 문자열 의 언어 ; p $K_{Lp\to Lq}$$p$$q$

• 상태 에서 시작 하여 상태 에서 가장 오른쪽 입력 심볼의 첫 번째 셀 오른쪽에서 끝나는 왼쪽 입력 제한 계산이 있도록 입력 문자열 의 언어 ; p $K_{Lp\to Rq}$$p$$q$

• 상태 에서 시작 하여 수락 상태에 도달하는 왼쪽 입력 제한 계산이 있도록 입력 문자열 의 언어$A_{Lp}$$p$

마찬가지로, 상태 에서 시작하는 올바른 입력 제한 계산의 경우 , 및 와 같이 정의 된 언어가 규칙적으로 정의됩니다 .K R p → L q K R p → R q A R $p$$K_{Rp\to Lq}$$K_{Rp\to Rq}$$A_{Rp}$

6 가지 증거는 양방향 비 결정적 유한 상태 오토마타 (2NFA) 가 규칙적인 세트를 인식 한다는 사실에 의존 합니다 (Hopcroft + Ullman 1979, pp 36-41 및 execise 2.18 page 51 참조). 2NFA는 처음에 가장 왼쪽의 기호부터 시작하여 허용 상태에서 오른쪽 끝을 넘어서 수락하는 입력으로 제한되는 테이프에서 읽기 전용 TM처럼 작동합니다.

6 가지 경우 모두, 입력 제한 계산을 모방하는 2NFA를 구축하여 증명을 수행하지만, 가장 왼쪽 셀에서 시작하여 수락에서 맨 오른쪽 끝에서 종료하여 언어를 수락 할 수 있도록 추가 전환이 있습니다. 상태. 들어 언어의 TM의 원래 수용 상태는 정지 비 수용성 계산 이어지는 상태로 변경된다. 두 경우에, 왼쪽 끝에 새로운 가드 기호가있는 추가 셀을 추가하여 왼쪽 끝에 종료되는 TM 계산을 감지하여 오른쪽 끝에 종료되도록해야 할 수도 있습니다.$K_{??\to ??}$

이 언어들은 오리지널 Turing machine 의 상태 와 의 모든 조합에 대해 정의됩니다 . 이들은 TM에 의해 입력의 관찰 (따라서 알려지고 계산 될 수있는) 모든 것을 나타냅니다.$p$$q$

가 상태의 수 이면 , 우리는 언어 및 언어 를 정의하므로 총 언어입니다. 실제로 이러한 언어 중 일부는 동일 할 수 있습니다.$k$$4k^2$$K_{??\to ??}$$2k$$A_{??}$$4k^2+2k$

입력의 한쪽 끝에서 시작하는 TM의 입력 제한 계산이 유일합니다. 따라서 (테이프의 입력 섹션 외부에있는) 각 입력 문자열에 의해 유도 된 계산은 입력이 속하거나 속하지 않는 그러한 언어 세트에 의해 특성화됩니다. 따라서 이러한 언어 또는 보수 . 이 모든 교차점은 r 정규 언어 의 유한 교차점 이거나 정규 언어이며 그에 따라 보완되는 정규 교차점입니다 .$4k^2+2k$$\Sigma^*$$4k^2+2k$

결과적으로, 이러한 교차점 세트는 의 파티션 를 최대 일반 언어로 정의합니다 ( 최대 일부 초기 언어는 동일 할 수 있고 일부 교차점은 너무). 동일한 동등 클래스에 속하는 모든 문자열은 입력의 끝에서 볼 때 정확히 동일한 동작을 생성 할 수 있습니다. 이는 읽기 전용 입력 영역에서 발생하는 상황을 추상화하면 Turing Machine 계산을 위해 구별 할 수 없음을 의미합니다.$\mathcal P$$\Sigma^*$$2^{4k^2+2k}$

우리가 두 개의 스트링이 걸릴 경우 및 와 동일한 등가 클래스 우리에 TM 중 수용성 계산을위한 것으로, 상기 입력 영역에 입력되는 횟수를 유도하여 증명할 수있는 , 수락 존재 입력 영역 외부의 모든 곳에서 동일한 에서의 TM 계산 . 따라서 동등성 클래스의 모든 문자열이 허용되거나 허용되지 않습니다. 결과적으로 TM에서 허용되는 언어는 의 등가 클래스 조합입니다 . 따라서 정규 언어의 유한 한 연합이므로 일반 언어입니다.$u$$v$$\mathcal P$$u$$v$$\mathcal P$

완벽하게하기 위해 빈 입력 문자열의 경우를 건너 뛰었습니다. 이 경우, 우리는 어디에서나 읽거나 쓸 수있는 정상적인 TM을 가지고 있습니다. 허용 상태에 도달하면 빈 문자열이 언어로되어 있고 그렇지 않은 경우입니다. 그러나 그것은 언어가 규칙적이라는 사실에 거의 영향을 미치지 않습니다.

물론 등가 클래스가 언어에 있는지 여부는 결정할 수 없습니다 (빈 문자열에 대해 동일하게 유지됨). 이것은 비 건설적인 증거입니다.

QED

읽기 전용 테이프가있는 튜링 기계는 일반 언어 만 허용합니다

이것은 이전 결과에 의해 계산됩니다. 그것은 다른 접근 방식을 사용함에 따라 유지 될 것입니다. 그러나 독자들은 그것을 건너 뛸 수 있습니다. 그러나이 증명의 한 가지 장점은 언어를 받아들이는 FSA를 생성하는 건설적인 증거라는 것입니다. 헨드릭 얀 (Hendrik Jan) 이 이전의 비슷한 질문 에 대한 답변 으로 비슷한 증거를 스케치 한 결과 , 전체 테이프가 읽기 전용이라고 가정합니다.

테이프의 사용되지 않은 부분에있는 공백 기호는 입력의 일부가 아니라고 가정합니다. 이 기호는 여기 있습니다. TM은 수락 상태에 도달하면 수락해야합니다.$\Box$

증거의 첫 단계는 헤드가 테이프의 입력 영역을 벗어날 필요가 없음을 보여주는 것입니다. 따라서 헤드가 가장 오른쪽 입력 심볼에서 벗어날 때 발생하는 상황을 분석합니다. 가장 왼쪽으로 이동할 때의 분석은 동일합니다.

입력 오른쪽에있는 첫 번째 빈 셀에서 헤드가 이동 한 것으로 간주하면 TM이 상태 에있는 경우 발생할 수있는 상황을 이해해야합니다. TM이 비 결정적 일 때 동시에 가능할 수있는 세 가지 경우가 실제로 있습니다.$q$

1. TM은 테이프의 입력 부분에서 헤드가 다시 나오지 않고 계속 컴퓨팅을 유지합니다.

2. TM은 (a) 수용 또는 (b) 수용 불가 상태에서 정지하고;

3. TM 헤드는 궁극적으로 입력의 가장 오른쪽 셀로 돌아 오며 유한 제어는 상태 있습니다.$r$

따라서 빈 반 테이프에서 계산할 때 빈 반 테이프 의 가장 왼쪽 셀의 상태 에서 시작 하여 오른쪽으로 무한대로 TM 유한 제어의 동작을 분석해야합니다 .$q$

TM은 공백 기호 만 쓰고 읽지 않기 때문에 유한 한 제어는 왼쪽이나 오른쪽으로 이동하는 것이 가능하며 구성은 헤드의 위치, 즉 정수로만 구별됩니다. 테이프는 부터 시작하여 카운터로 교체 할 수 있으며 , 헤드에서 오른쪽으로 이동하면 증가하고 왼쪽으로 이동하면 감소합니다. 테이프의 공백 기호가 필요한 전환 만 고려하면됩니다. 카운터가 으로 내려 가면 맨 오른쪽 입력 기호로 헤드가 다시 나오는 경우에 해당합니다.$\Box$$1$$0$

첫 번째 설명은 수락 종료가 문자열을 수락하는 유일한 경우이기 때문에 종료하지 않거나 (케이스 1) 거부로 끝나는 (케이스 2.b) 계산을 무시할 수 있다는 것입니다. 따라서 카운터가 으로 내려갈 수 있는지, 어떤 상태인지 또는 계산이 수락 가능한 상태에 도달 할 수 있는지 여부 만 알고 싶습니다 .$0$

우리는 유한 상태 제어의 관련 부분을 정점이 TM의 상태이고 모서리가 블랭크 전이 인 곳에서 헤드가 움직여야하는지 여부에 따라 가중치가 +1 또는 -1 인 방향 그래프로 표현합니다. 오른쪽 또는 왼쪽.

양의 가중 경로를 사용하여 수용 상태에 도달 할 수있는 상태 세트를 정의 합니다.$A_R$$q$

또한 설정된 계산 모든 쌍 중량의 경로가되도록 상태 에서 로 하지만, 그 경로의 접두사는 네가티브 가중치가 없다.$E_R$$(q,r)$$-1$$q$$r$

그런 다음 TM의 유한 상태 제어를 다음과 같이 수정합니다 (이제 빈 기호 모든 전환을 무시하십시오 ).$\Box$

전환없이 새로운 수락 가능한 상태 를 만듭니다 .$q_A$

모든 전이 대해 경우 전이 를 추가합니다 (즉, 가장 오른쪽에있는 기호이면 수락 가능).$p,a\mapsto R,q$$p,a\mapsto R,q_A$$q\in A_R$

모든 전이 및 모든 쌍 대해 더미 전이 . 여기서 는 헤드가 움직이지 않아야 함을 나타냅니다. 이것은 대부분의 오토마타 형식화에서 허용되는 이동이 아니기 때문에, 이러한 더미 상태는 이후 전이 폐쇄에 의해 제거 될 수 있습니다.$p,a\mapsto R,q$$(q,r)\in E_R$$p,a\mapsto S,r$$S$

이 작업이 완료되면 더미 전환을 제거합니다. 모든 테이프 기호 에 대해 세트를 빌드합니다 가 있으며 전이 폐쇄 고려합니다. 에 의해 정의 된 관계 . 그런 다음 원래 TM 모든 전이 과 모든 쌍 대해 새로운 전이 합니다. 그런 다음 모든 더미 전환을 제거 할 수 있습니다.F = { ( P , R은 ) |  더미 전이가  P , ↦ S , R } F * F R $a$$F_a=\{(p,r)\mid \text{ there is a dummy transition } p,a\mapsto S,r\}$$F_a^*$$F_a$( P , R ) ∈ F * P , ↦ L , $r,a\mapsto L,s$$(p,r)\in F_a^*$$p,a\mapsto L,s$

우리는 테이프의 입력 부분에서 머리 왼쪽의 움직임에 대해서도 비슷하게 진행하여 왼쪽과 오른쪽으로 반전 하고 그래프 가중치에서 과 을 교환 합니다.- $+1$$-1$

이 작업이 완료되면 새로운 전이에 의해 해당 계산이 단락되므로 빈 셀의 모든 전이를 완전히 제거합니다. 그리고 상태가 인 경우를 제외하고 항상 입력에 원래 언어를 인식 하는 헤드가있는 새로운 TM이 있습니다.$q_A$

이제이 TM이 양방향 NDA와 똑같이 작동하도록 약간의 외관 변경을 수행해야합니다 (허용은 오른쪽의 입력을 eccpting 상태로 종료하는 것만 가능합니다). 그런 다음 2-NDA와 FSA의 알려진 동등성 (예 : Hopcroft + Ullman 1979, 40 페이지 참조)에 의존하여 언어가 규칙적이라는 증거를 얻을 수 있습니다.

QED

양방향 오토마타는 정규 언어의 정확성을 인식하기 때문에 왼쪽이나 오른쪽으로 이동하는 것은 문제가되지 않습니다. 그러나 TM이 입력 단어의 테이프 부분 밖에 쓸 수 있다면 테이프 의이 부분을 사용하여 일반 언어로 인식 할 수 있다고 생각합니다. 어쩌면 나는 그 질문을 명확하게 이해하지 못할 수도 있습니다.