폰툰으로 섬을 연결하면 NP가 완료됩니까?

나는 내 마음에 문제가 있는데, 그것이 NPC 문제라고 생각하지만 그것을 증명하는 방법을 모른다.

여기 문제가 있습니다 :

매우 큰 호수 에는 k 개의 섬 이 있으며 , 부채꼴 모양의 판툰 이 n 개 있습니다. 이 폰툰은 크기는 같지만 초기 방향이 다르며 호수에서 원래 위치가 다릅니다. 이 폰툰은 질량 중심을 중심으로 자유롭게 회전 할 수 있으며 회전과 관련된 비용은 없습니다.

이제 우리는 호수의 모든 섬을 연결할 수 있도록 폰툰을 움직여야합니다. 우리는 모든 섬을 연결하기에 충분한 폰툰 수를 보장 할 수 있습니다.

[참고] : 우리는 철주를 재사용 할 수 없습니다 !!

과제는 모든 섬을 연결하기 위해 움직이는 폰툰의 총 거리가 최소 인 솔루션을 찾는 것입니다. 한 교주 이동 거리는 질량 중심의 원래 위치와 배치 된 위치 사이의 거리로 계산할 수 있습니다.

명확히하기 위해 나는 그러한 인물을 그렸습니다. 우리가 3 개의 섬 A, B, C를 가지고 있다고 가정하자. 그것들은 호수 어딘가에 위치하고있다. 팬 모양의 팬툰이 몇 개 있습니다. 이제 해결책은 그림 하단에 표시된 A, B 및 C를 연결하기위한 최소 이동 거리 합계를 찾는 것입니다. 그것이 문제를 이해하는 데 도움이되기를 바랍니다. :)

문제는 NPC 인 것 같지만 그것을 증명할 수는 없습니다. 아무도 나를 도울 수 있습니까?

첫째 : 이것은 여행하는 판매원 문제가 아닙니다. TSP는 최소 중량 해밀턴 사이클을 식별해야합니다. 이 사이클에는 사이클이 필요하지 않으며 최소한의 무게 경로도 필요하지 않습니다. 연결하는 모서리 세트의 최소 비용 구성 이 필요하며 , 여기서 건설 비용은 철근을 움직여서 계산합니다.

둘째 : 이것은 최소 중량 스패닝 트리 문제가 아닙니다. 위 참조- 최소 중량 식별이 아닌 최소 비용 구성이 필요합니다 .

셋째 : 구성된 경로는 스패닝 트리이지만 반드시 최소 가중치는 아닙니다. 대안은 스패닝 트리와 일부 추가 모서리가 순환을 야기한다는 것입니다. 그러나 모서리가없는 구성에서 시작하면 모든 모서리에 약간의 비용이 들며 단순히 여분의 모서리를 구성하지 않음으로써 가중치가 낮은 스패닝 트리를 항상 찾을 수 있습니다.

넷째 : 폰툰이 자유롭게 회전한다고 말합니다. 나는 교주 회전과 관련된 비용이 없음을 의미한다고 가정합니다. 그러나 폰툰이 회전하는 점을 지정하지 마십시오. 그들의 질량 중심은? 내부 요점이 있습니까? (외부 지점이 있다면 가중치 구성이 0이 될 것입니다. 예)

우리가 질량 중심과 같은 내부 지점을 중심으로 90도 회전하면 비용은 얼마입니까? 회전이기 때문에 아무것도 없나요? 포인트가 움직 였기 때문에 유한 금액? 이제 우리는 폰툰의 크기도 알아야합니다.

다섯째 : 폰툰과 섬이 모두 유클리드 비행기에 내장되어 있다고 가정합니까?

새로운 다이어그램을 살펴본 후 섬 사이를 가로 지르려면 여러 개의 폰툰이 필요할 수 있습니다. 이를 감안할 때 노드를 섬으로 바꾸고 작은 호를 가진 충분히 다양한 폰툰 모음을 만들어 Steiner Tree 문제 의 해결책에 매우 가까이 갈 수 있습니다. Wikipedia에 따르면 실제로 Steiner tree 문제에 대한 PTAS가 있다고해서 이것이 NP가 완전히 완료되었다고 즉시 말할 수는 없습니다. 그러나 Steiner 트리의 세부 사항을 살펴보면 대략적인 해결책을 얻거나 문제가 NP-Complete임을 알 수 있습니다.

드로잉 후에도 여전히 NPC 문제입니다. 각 폰툰으로 문제를 줄이더라도 n 개의 위치 중 하나 (예를 들어 알려진 연결선)를 가정 할 수 있습니다. 가장 최적의 답을 얻으려면 각 폰툰을 시도하여 거리를 추가하여 각각의 반응하는 위치에 도달해야합니다. 각 폰툰이 각 위치에서 테스트되어야한다면, 테스트 할 필요가있는 n 개의 조합이 있습니다.

필자는이 문제 뒤에 그래프 아이디어를 보여주기 위해 원본 포스터의 이미지를 추가하여 선택했습니다.

아래 이미지는 다른 모든 폰툰을 다른 색상으로 (단순화하기 위해 -2) 폰툰을 보여줍니다. 모든 잠재적 폰툰 끝 위치는 RED입니다. 나는 3 개의 폰툰과 모든 최종 위치 사이에 선을 그렸지만, 이것이 어떻게 CRAZY가 될 수 있는지 볼 수있었습니다.

단순히 청록색 폰툰이 첫 번째 단계와 가장 가까운 끝 위치에 배치되도록 선택한다고 가정하십시오.

아래에서, 우리는 철주와 그것이 이동해야 할 거리 (일명 가중 이동 거리)를 정확히 보여줍니다.

여기에서 방금 배치 한 위치 옆에 두 개의 끝 위치가있는 가상 노드를 만들 수 있습니다. 설정된 노드와 가상 노드 내 인접한 두 노드의 거리는 가상 이동 거리가 0입니다.

아래에는 가상 노드가 배치 될 수있는 모든 잠재적 이동 거리 가중치로 생성 된 것을 볼 수 있습니다.

이것이 어떻게 지속되는지, 그리고 TSP로 여러 번 보았을 때 가장 최적의 솔루션이 항상 모든 선택에 대해 가장 짧은 거리를 선택하는 것이 아니라는 것을 알기 위해 본질적으로 모든 노드 / 가상 노드에 대한 모든 경로를 테스트해야합니다.

결국 (TSP) 문제의 첫 번째 노드는 잠재적 엔드 폰툰 포인트 중 하나 일 수 있으며, 그로부터 그려진 선은 해당 엔드 포인트에서 다른 모든 폰툰까지의 거리입니다. 나머지 모든 폰툰과의 거리 / 무게 등으로 선이 표시된 상태에서 다른 모든 노드는 가상 노드가됩니다. 이 그래프 문제가 어떻게 정확하지 않은가? 정확한 답을 얻으려면 그래프를 통해 모든 경로를 테스트해야합니다.