P ≠ NP라고 가정하고 NP 완료 문제 알고리즘의 런타임 한계

가정합니다 $P\neq NP$ .

모든 NP 완료 문제의 런타임 범위에 대해 무엇을 말할 수 있습니까?

즉, 가장 완전한 함수 $L,U:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ 은 어떤 NP- 완전 문제에 대한 최적의 알고리즘이 적어도 $\omega(L(n))$ 및 최대 시간에 실행 되도록 보장 할 수 있습니다 $o(U(n))$ 길이 의 입력에 $n$ ?

분명히 . 또한, . $\forall c:L(n)=\Omega(n^c)$ $U(n) = O(2^{n^{\omega(1)}})$

가정없이 , 암시하지 않고, 가정 또는 다른 , 우리가 어떤 경계 더 줄 수 ? $QP\neq NP$ $ETH$ $P\neq NP$ $L,U$

편집하다:

적어도 하나하는 것으로 NPC 문제가되고 있기 때문에, 지금까지의 내가 여기에 준 범위에서 수 있으며, 이러한 문제는 의미, 서로 간의 폴리 시간 감소가 일부 NPC의 문제는 시간의 최적의 알고리즘이있는 경우 , 모든 문제 (런타임 최적없이) 알고리즘 보유 . $L,U$ $f(n)$ $O(f(n^{O(1)}))$

— RB
소스

NP 인 경우 런타임 경계가 다항식보다 크다고 말할 수 있습니다 .... afaik 아니오, 더 나은 경계는 알려져 있지 않습니다 .... 기능 예 :

\neq

$\neq$

2^{\log n}

$2^{\log n}$

— vzn

우선,

I는 평균 추측하므로, 단지 선형

클래스로 알려져

. 나는

가 NP 완료 기능이 기하 급수적으로 실행될 것이라는 것을 의미하지는 않지만 그것이 내가 요구하는 것은 아닙니다. 예를 들어,

가정하면 NPC 문제를

로 해결할 수 있습니다.

2^{\log n}

$2^{\log n}$

2^{p o l y l o g (n)}

$2^{polylog(n)}$

Q P

$QP$

P \neq N P

$P\neq NP$

P \neq N P

$P\neq NP$

, 여기서

은 역 Ackermann 함수입니까? 표기법은 단지 내 질문을 공식적으로 표현하는 데 사용되는 도구 일뿐입니다.

2^{l o g (n) \cdot l o g^{*} (n)}

$2^{log(n)\cdot log^*(n)}$

l o g^{*} (n)

$log^*(n)$

— RB

정정을위한 thx. 이 지역에는 거의 알려져 있지 않습니다. 이 질문을보십시오 NTime (n ^ k) =? DTime (n ^ k) tcs.se

— vzn

@RB 각각의 "가능한 세계"에서 서로의 다항식 내에 대략 하한과 상한이 있다는 것이 사실이지만 , 선험적 한계가 무엇인지 명확하지 않습니다 .

— Yuval Filmus

이 질문에 대한 나의 해석은 상대 세계 의 가능성에 대해 묻는 것이다. 일부 상대화 된 세계에서 라고 가정하자 . NP- 완전 문제의 시간 복잡성에 대해 사소한 것을 추론 할 수 있습니까? 베이커 - 길 - Solovay 인수 이 위 질문에 주어진 바운드 그래서 우리는 "힘"일부 NP 문제가, 지수 시간을 필요로 할 수 있다는 것을 보여준다는 본질적으로 최적입니다. $P \neq NP$

하한과 관련하여, 우리는 일부 오라클에 대해 라는 증거 아래에 스케치합니다 . 스케치 된 증거가 정확하다고 가정하면 보다 작은 함수에도이를 적용 할 수 있으며 , 이는 질문에 제시된 하한도 본질적으로 타이트하다는 것을 보여줍니다. $NP = \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})$ $2^{O(\log^2 n)}$

증거 스케치. 우리는 두 개의 oracles . 첫 번째는 완전 문제 처럼 작동 하고 두 번째는 Baker-Gill-Solovay 대각 화를 구현합니다. 두 오라클을 하나의 오라클로 포장하는 것은 간단합니다. $O_1,O_2$ $\mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})$

오라클 모든 쌍으로 구성 되도록 허용 오라클 튜링 기계 시간에 실행하는 $O_1$ $\langle M, x \rangle$ $M$ $x$ 신탁 액세스 권한을 부여 할 때이하인 길이의 입력 제한 $2^{2^{\sqrt{\log |x|}}}$ $O_1,O_2$ . (이것은 원형 정의가 아닙니다.) $2^{\sqrt{\log |x|}}$

오라클 는 오라클이 Baker-Gill-Solovay에 정의 된 것과 동일한 방식으로 정의됩니다. 시간 실행되는 각 클럭킹 된 오라클 튜링 머신 에 대해 다음과 같은 입력 길이 을 찾습니다. "그대로"실행 에 에 대한 단계 및 각 쿼리에 대한 크기의 , 우리는이 입력이 아님을 표시 (다른 쿼리에 대해 우리는 또한 입력이,이 아니라고 표시 우리하지 않는 한 이미 있다고 결정했습니다 $O_2$ $M$ $T = 2^{o(\log^2 n)}$ $n$ $M$ $1^n$ $T$ $O_2$ $n$ $O_2$ ). 대한쿼리는 유사하게 처리됩니다 ( 대한암시 적 쿼리 더 작은 크기의 , 재귀 적으로 처리됨). 이러한 쿼리는 이후 에서길이 문자열을 언급하지 않습니다. $O_2$ $O_1$ $O_1,O_2$ $n$ $O_2$ . 기계가 받아들이면, 우리는 길이의 다른 모든 문자열 표시에, 그렇지 않으면 우리는 길이의 일부 문자열 선택, 누락 된하고에 넣어. $2^{\sqrt{\log T}} < n$ $n$ $O_2$ $n$ $O_2$

클래스 시간에서 실행중인 모든 프로그램으로 구성되어 $P^{O_1,O_2}$ 를 쿼리하여,의 크기의 $2^{2^{O(\sqrt{\log n})}}$ $O_1,O_2$ . 클래스는, 여기서이므로 시간에서 실행되고크기가 오라클 쿼리를 만드는 모든 프로그램 클래스에 포함됩니다. $2^{O(\sqrt{\log n})}$ $NP^{O_1,O_2}$ $x \mapsto \exists |y|<n^C \varphi(x,y)$ $\varphi \in P^{O_1,O_2}$ $2^{n^C}$ . 후자는에 포함되어 있습니다.을사용하여 결정할 수 있기 때문입니다. 이것은임을 나타냅니다. $2^{O(\sqrt{\log n})}$ $\mathrm{TIME}(2^{\log^2 n^C})^{O_1,O_2}$ $O_1$ $NP^{O_1,O_2} \subseteq \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$

다른 방향,하자 구성 언어 수 마다 되도록 길이의 몇 문자열 포함 . 구성에 의해 , 이고, 명확하게 . 이것은 $L$ $1^n$ $n$ $O_2$ $n$ $O_2$ $L \notin \mathrm{TIME}(2^{o(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$ $L \in NP^{O_1,O_2}$ . $NP^{O_1,O_2} = \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$

— 유발 필름 러스
소스

나는 당신의 대답을 완전히 이해하지 못했지만, NP 완료 문제

가

에서만 해결할 수 있다면 다른 모든 NPC 문제는

에서만 해결할 수 있습니다

에서 그들에게 폴리 시간 감소 거기로

, 어떤 그렇지 않으면 당신을위한 더 나은 알고리즘이 거라고 수단

. 이것은 예를 들어

이며

는 그렇지 않습니까? 내가 무엇을 놓치고 있습니까?

Π

$\Pi$

Ω (2^{n^{c}})

$\Omega(2^{n^c})$

Ω (2^{n^{Ω (1)}})

$\Omega(2^{n^{\Omega(1)}})$

Π

$\Pi$

Π

$\Pi$

Q P \neq N P

$QP\neq NP$

E T H

$ETH$

— RB

음, 그것은

의미하지는 않지만

의미 할 수 있습니다 .

E T H

$ETH$

Q P \neq N P

$QP\neq NP$

— RB

빠진 것이 없습니다. ETH가 사실 인 상대화 된 세계가 있습니다. P = NP 인 또 다른 상대화 된 세계가 있으며, 특히 ETH는 거짓입니다.

— Yuval Filmus

그러나

가 사실 인 모든 재 관상 세계에서 그렇지는 않습니까? 있는 기회가

. 내가 당신의 대답에서 이해 한 바에 따르면,

이면 하한이 지수 인 NPC 문제가 있으며 왜 그런지 궁금합니다.

P \neq N P

$P\neq NP$

Q P \neq N P

$QP\neq NP$

P ⊊ Q P = N P

$P\subsetneq QP = NP$

P \neq N P

$P\neq NP$

— RB

N P = T I M E (n^{O (\log n)})

$NP = \mathrm{TIME}(n^{O(\log n)})$

N P = T I M E (2^{n^{O (1)}})

$NP = \mathrm{TIME}(2^{n^{O(1)}})$

P = N P

$P=NP$

Q P

$QP$

P ≠ NP라고 가정하고 NP 완료 문제 알고리즘의 런타임 한계

가정없이 , E T H 암시하지 않고, 가정 또는 다른 P ≠ N P , 우리가 어떤 경계 더 줄 수 L , U를 ?Q P≠ N피QP≠NPQP\neq NP이자형티HETHETH피≠ N피P≠NPP\neq NP엘, UL,UL,U

가정없이 , 암시하지 않고, 가정 또는 다른 , 우리가 어떤 경계 더 줄 수 ? $QP\neq NP$ $ETH$ $P\neq NP$ $L,U$