람다 미적분을 사용하여 음수와 복소수를 나타냄

Lambda Calculus에 대한 대부분의 자습서는 Positive Integers 및 Booleans가 Functions로 표시 될 수있는 예를 제공합니다. -1과 i는 어떻습니까?

— zcaudate
소스

답변:

먼저 jmad가 설명한대로 자연수와 쌍을 인코딩하십시오.

정수 표현 자연수의 쌍 이되도록 . 그런 다음 정수에 대한 일반적인 연산을 다음과 같이 정의 할 수 있습니다 ( -calculus에 Haskell 표기법 사용 ). $k$ $(a,b)$ $k = a - b$ $\lambda$

neg = \k -> (snd k, fst k)
add = \k m -> (fst k + fst m, snd k + snd m)
sub = \k m -> add k (neg m)
mul = \k m -> (fst k * fst m + snd k * snd m, fst k * snd m + snd k * fst m)

복소수의 경우는 복소수가 한 쌍의 실수로 인코딩된다는 점에서 비슷합니다. 그러나 더 복잡한 질문은 실수를 인코딩하는 방법입니다. 여기서 더 많은 일을해야합니다.

유리수 를 쌍 으로 인코딩합니다. 여기서 는 정수이고 는 자연스럽고 $q$ $(k,a)$ $k$ $a$ $q = k / (1 + a)$ 입니다.
실수 인코딩 함수에 의해 되도록 모든 자연에 대한 , 코딩하는 유리수 되도록 . 다시 말해, 실수는 비율로 수렴하는 일련의 합리적 순서로 인코딩됩니다 . $x$ $f$ $k \in \mathbb{N}$ $f k$ $q$ $|x - q| < 2^{-k}$ $k \mapsto 2^{-k}$

실수를 인코딩하는 것은 많은 작업이며 실제로 미적분학 에서는 원하지 않습니다 . 그러나 순수한 Haskell에서 실수를 간단히 구현하려면 Marshall 의 하위 디렉토리를 참조하십시오 . 이것은 원칙적으로 순수한 미적분 으로 변환 될 수 있습니다 . $\lambda$ etc/haskell $\lambda$

— 안드레이 바우어
소스

와우 =) 나는 그것이 의미하는 바를 직관적으로 궁금합니다. 예를 들어 교회 번호 인코딩을 사용하는 것입니다. 정수 값 n의 교회 수는 n 값에 함수를 적용하는 함수로 표현된다. 쌍과 음의 람다 값에 대해 비슷한 직관적 느낌이 있습니까?

— zcaudate

교회 인코딩은 자연수

, ...를 인코딩합니다. 음수는 인코딩하지 않습니다. 위의 답변에서 나는 자연수의 인코딩에 대해 이미 알고 있다고 가정 했으므로 정수를 얻는 방법을 설명했습니다. 내가 인코딩 한 정수는 교회 숫자와 달리보다 공식적인 구조이며

미적분 과 더 복잡하게 연결됩니다 . "부정적인 람다 값"이 의미있는 문구라고 생각하지 않습니다.

0

$0$

1

$1$

2

$2$

λ

$\lambda$

— Andrej Bauer 2016 년

@zcaudate [타입 주석 : i:ℤ, x:a, f,u,s:a→a, p:(a→a,a→a)] 당신은 ℤ 인코딩 경우 (Sign,ℕ)함수 쌍 주어진 다음 (s,f)과 같은 p용어가 λi.λp.λx.(fst i) (fst p) id ((snd i) (snd p) x)생성 할 하나 f(…f(x)…)또는 s(f(…f(x)…))(결과가 부정적이면). 당신이 ℤ을로 인코딩 할 경우 (ℕ,ℕ), 당신은 역이있는 기능이 필요 - 한 쌍의 주어 (f,u)와 x함수 λi.λp.λx.(snd i)(snd p)((fst i)(fst p) x)생산할 예정이다 u(…u(f(…f(x)…))…)떠날 것이다 f적용 i에 시간을 x. 둘 다 서로 다른 상황에서 작동합니다 (결과는 "플립"될 수 있습니다 f. || 는 되돌릴 수 없습니다).

— 아무도

@zcaudate 추가 기능은 교회에서 인코딩 한 숫자가 "자주 재귀"되므로 필요하지만 쌍은 구성 요소 만 전달합니다. 도우미 함수는 구성 요소를 "올바른"순서로 붙입니다 (nats에 대해 자동으로 수행됨). 참조 : en.wikipedia.org/wiki/… – 교회 인코딩은 기본적 fold . ctor으로 모든 생성자 및 해당 유형 fold( r)에 적용됩니다. (재귀 유형의 경우 데이터가 "자체로 재귀"되는 이유는 무엇입니까? 비 재귀 유형의 경우 case/ 패턴 일치 와 비슷합니다 .)

— nobody

람다 미적분은 대부분의 데이터 구조와 기본 유형을 인코딩 할 수 있습니다. 예를 들어, 음이 아닌 정수와 부울을 인코딩 하는 것과 동일한 교회 인코딩 을 사용하여 람다 미적분학에서 기존 용어 쌍 을 인코딩 할 수 있습니다 .

pair = λ x y z . z x y

$\mbox{pair}= λxyz.zxy$

fst = λ p . p (λ x y . x)

$\mbox{fst} = λp.p(λxy.x)$

snd = λ p . p (λ x y . y)

$\mbox{snd} = λp.p(λxy.y)$

그런 다음 페어 는 이며 와 를 되 찾으려면 및 수행 할 수 있습니다 . $(a,b)$ $p=(\mbox{pair }ab)$ $a$ $b$ $(\mbox{fst }p)$ $(\mbox{snd }p)$

즉, 왼쪽의 부호와 오른쪽의 절대 값 쌍으로 양수와 음수를 쉽게 표현할 수 있습니다. 부호는 숫자가 양수인지 여부를 지정하는 부울입니다. 오른쪽은 교회 인코딩을 사용하는 자연수입니다.

(s i g n, n)

$(sign,n)$

이제 상대 정수가 생겼습니다. 곱셈을 쉽게 정의 할 수 있습니다. 만 적용하면됩니다. $\mbox{xor}$ 함수 를 부호에 자연수에 대한 곱셈을 절대 값에 적용하면됩니다.

{mult}_{ℤ} = λ a b . pair (xor (fst a) (fst b)) ({mult}_{ℕ} (snd a) (snd b))

$\mbox{mult}_ℤ=λab.\mbox{pair} ~~(\mbox{xor}(\mbox{fst }a)(\mbox{fst }b)) ~~(\mbox{mult}_ℕ(\mbox{snd }a)(\mbox{snd }b))$

더하기를 정의하려면 두 개의 자연수를 비교하고 부호가 다를 때 빼기를 사용해야하므로 이것은 λ 항이 아니지만 실제로 원하는 경우이를 조정할 수 있습니다.

{add}_{ℤ} = λ a b . {\begin{cases} (true, {add}_{ℕ} (snd a) (snd b)) & if a \geq 0 \land b \geq 0 \\ (false, {add}_{ℕ} (snd a) (snd b)) & if a < 0 \land b < 0 \\ (true, {sub}_{ℕ} (snd a) (snd b)) & if a \geq 0 \land b < 0 \land | a | \geq | b | \\ (false, {sub}_{ℕ} (snd b) (snd a)) & if a \geq 0 \land b < 0 \land | a | < | b | \\ (true, {sub}_{ℕ} (snd b) (snd a)) & if a < 0 \land b \geq 0 \land | a | < | b | \\ (false, {sub}_{ℕ} (snd a) (snd b)) & if a < 0 \land b \geq 0 \land | a | \geq | b | \end{cases}

$\mbox{add}_ℤ=λab.\left\{\begin{array}{ll} (\mbox{true},\mbox{add}_ℕ(\mbox{snd }a)(\mbox{snd }b)) & \mbox{if } a≥0∧b≥0 \\ (\mbox{false},\mbox{add}_ℕ(\mbox{snd }a)(\mbox{snd }b)) & \mbox{if } a<0∧b<0 \\ (\mbox{true},\mbox{sub}_ℕ(\mbox{snd }a)(\mbox{snd }b)) & \mbox{if } a≥0∧b<0∧|a|≥|b| \\ (\mbox{false},\mbox{sub}_ℕ(\mbox{snd }b)(\mbox{snd }a)) & \mbox{if } a≥0∧b<0∧|a|<|b| \\ (\mbox{true},\mbox{sub}_ℕ(\mbox{snd }b)(\mbox{snd }a)) & \mbox{if } a<0∧b≥0∧|a|<|b| \\ (\mbox{false},\mbox{sub}_ℕ(\mbox{snd }a)(\mbox{snd }b)) & \mbox{if } a<0∧b≥0∧|a|≥|b| \\ \end{array}\right.$

그러나 빼기는 정의하기가 정말 쉽습니다.

{minus}_{ℤ} = λ a . pair (not (fst a)) (snd a)

$\mbox{minus}_ℤ=λa.\mbox{pair}(\mbox{not}(\mbox{fst } a))(\mbox{snd } a)$

{sub}_{ℤ} = λ a b . {add}_{ℤ} (a) ({minus}_{ℤ} b)

$\mbox{sub}_ℤ=λab.\mbox{add}_ℤ(a)(\mbox{minus}_ℤb)$

양의 정수와 음의 정수가 있으면 복잡한 정수를 매우 쉽게 정의 할 수 있습니다. 두 정수의 쌍일뿐입니다. $(a,b)$ 어느 것을 나타내는 $a+b\mbox{i}$ . 그런 다음 덧셈은 포인트 방식이며 곱셈은 평소 와 같지만 쓰지 않을 것입니다.

{더하다}_{ℤ [나는]} = λ 지_{1} 지_{2} . 쌍 ({더하다}_{ℤ} (fst 지_{1}) (fst 지_{2})) ({더하다}_{ℤ} (snd 지_{1}) (snd 지_{2}))

$\mbox{add}_{ℤ[\mbox{i}]}=λz_1z_2.\mbox{pair} (\mbox{add}_ℤ(\mbox{fst }z_1)(\mbox{fst }z_2)) (\mbox{add}_ℤ(\mbox{snd }z_1)(\mbox{snd }z_2))$

— jmad
소스

대신 정수를 나타내는 경우 대소 문자 구분을 피할 수 있습니다

k

$k$ 한 쌍의 자연수

(a, b)

$(a,b)$ 그런

k = a - b

$k = a - b$ .

— Andrej Bauer 2018 년

복잡한 정수는 괜찮지 만 복잡한 숫자를 요구했습니다. 다시 말하지만, 셀 수없는 것이기 때문에 그것들을 표현할 수는 없습니다.

— HdM

@AndrejBauer : 아주 좋은 트릭 (아마 더 간단하지는 않을 수도 있음) HdM : 모든 것이 아니라도 가능합니다. 그러나 교회 인코딩으로 λ- 미적분으로 물건을 만드는 방법이 더 중요하고 적절하다고 생각했습니다.

— jmad

나는 두 개의 정답을 줄 수 있기를 바랍니다 =) 나는 복잡한 숫자에 대해 물었을 때 실수가 표현 될 수 있다고 생각하지 않았지만 거기에 있습니다.

— zcaudate