O와 Ω은 최악의 경우와 가장 관련이있는 방법은 무엇입니까?

오늘 우리는 이진 검색을 사용하여 정렬 된 배열에서 요소를 찾기위한 매우 간단한 알고리즘을 강의에서 논의했습니다 . $n$ 요소 배열에 대한 점근 적 복잡성을 결정하라는 요청을 받았습니다 .

내 생각은 log 2 n 이 최악의 경우 작업 수 이기 때문에 분명히 $O(\log n)$ 또는 $O(\log_2 n)$ 가 더 구체적이라는 것 입니다. 그러나 예를 들어 검색된 요소를 처음으로 누르는 경우 더 나은 작업을 수행 할 수 있습니다. 그러면 하한은 Ω ( 1 ) 입니다.$\log_2 n$$\Omega(1)$

강사는 일반적으로 알고리즘의 최악의 입력 만 고려하므로 솔루션을 로 표시했습니다 $\Theta(\log n)$.

그러나 최악의 경우만을 고려할 때 주어진 문제의 모든 최악의 경우가 동일한 복잡성을 가질 때 $O$ 및 $\Omega$ 표기법 의 요점은 무엇입니까 ( $\Theta$ 가 우리가 필요한 전부입니까?).

내가 여기서 무엇을 놓치고 있습니까?

$O$$\Omega$$\Theta$

$n$

$O$$\Omega$$\Theta$

$\Theta(1)$$\Theta(\log n)$

다음 알고리즘 (또는 절차 또는 코드 조각 등)을 고려하십시오.

Contrive(n)
1. if n = 0 then do something Theta(n^3)
2. else if n is even then
3.    flip a coin
4.    if heads, do something Theta(n)
5.    else if tails, do something Theta(n^2)
6. else if n is odd then
7.    flip a coin
8.    if heads, do something Theta(n^4)
9.    else if tails, do something Theta(n^5)

이 기능의 점근 적 행동은 무엇입니까?

$n$$\Omega(n)$$O(n^2)$$\Theta$

$n$$\Omega(n^4)$$O(n^5)$$\Theta$

$n = 0$$\Theta(n^3)$

$\Theta$

반드시 그런 것은 아닙니다. 이 경우, 즉 정렬 된 배열에서 이진 검색을 수행 할 수 있습니다. (a) 이진 검색은 최대 단계를 수행합니다. (b) 실제로이 많은 단계를 강제하는 입력이있다. 따라서 이 이진 검색을위한 최악의 입력에서 실행 시간 인 경우 라고 말할 수 있습니다 .T ( N ) T ( N ) = Θ ( 로그 N $[\log n + 1]$$T(n)$$T(n) = \Theta(\log n)$

반면에 다른 알고리즘의 경우 정확하게 계산하지 못할 수 있습니다.이 경우 최악의 입력에서 실행 시간 동안 상한과 하한 사이에 간격이있을 수 있습니다.$T(n)$

이제 정렬 된 배열 을 검색하려면 정렬 된 배열을 검색하기위한 알고리즘이 을 검사해야합니다 . 그러나 이런 종류의 하한선에서는 문제 자체를 분석해야합니다. (여기서 아이디어는 다음과 같습니다 언제든지 검색 알고리즘이 일부 세트 배제하지 않고있다 은을 찾고 요소가 될 수있는 위치를 신중하게 조작 된 입력이 그를 보장 할 수 있습니다. 입니다 최대 배까지 줄어 듭니다 .)S ⊂ [ n ] | S | $[\log n + 1]$$S\subset [n]$$|S|$$2$

많은 사람들이 사용해야 할 때 순식간에 사용 합니다 . 예를 들어, 알고리즘 분석가는 시간 함수 끝나고 기술적으로 옳은 라고 즉시 결론을 내릴 수 있습니다. , 그러나 더 강력한 주장은 입니다. 나는이 명백하지 않은 행동을 두 가지 이유에 기인합니다. 첫째, 많은 사람들은 가 오랜 역사로 인해 더 인기 있고 수용 가능하다고 생각합니다. 1 세기 전에 소개 된 반면, (및 )는 1976 년 (도널드 크 누스)에 의해서만 소개되었다. 둘째, 때문일 수 있습니다$O$$\Theta$$% T(n)=n^{2}+n+2$$T(n)=O(n^{2})$$T(n)=\Theta (n^{2})$$O$$\Theta$$% \Omega$$O$ 는 아니지만 키보드에서 쉽게 사용할 수 있습니다 !$\Theta$

그러나 기술적 인 관점에서, 신중한 분석가가 를 보다 선호하는 주된 이유 는 전자가 후자보다 "더 큰 영역"을 다루기 때문입니다. 이진 검색의 예를 들어 를 사용하려면 두 가지 주장을해야합니다. 하나는 가장 좋은 경우, 하나는 이고 다른 하나는 최악의 경우, . 사용하면 단 하나의 주장, 즉 만듭니다. 수학적으로, 가 다루는 함수 들도 다루어 지지만 그 반대는 반드시 사실이 아닙니다.$O$$\Theta$$\Theta$$\Theta (1)$$% \Theta (\log n)$$O$$O(\log n)$$\Theta$$O$