제품 유형에 따른 유형 유추

연결 언어에 대한 컴파일러를 개발 중이며 형식 유추 지원을 추가하고 싶습니다. Hindley–Milner를 이해하고 있지만 유형 이론을 배우고 있으므로이를 적용하는 방법을 잘 모르겠습니다. 다음과 같은 시스템은 소리가 나지 않으며 추론 할 수 없습니까?

용어는 리터럴, 용어 구성, 용어 인용 또는 기본형입니다.

e ::= x | e e | [e] | \dots

$e ::= x \:\big|\: e\:e \:\big|\: [e] \:\big|\: \dots$

모든 용어는 기능을 나타냅니다. 두 기능 $e_1$ 과 $e_2$ 경우 $e_1\:e_2 = e_2 \circ e_1$ 즉, 병치 배치는 역 조성을 나타낸다. 리터럴은 나일 함수를 나타냅니다.

구성 이외의 용어에는 기본 유형 규칙이 있습니다.

\frac{}{x : ι} [Lit] \frac{Γ ⊢ e : σ}{Γ ⊢ [e] : \forall α . α \to σ \times α} [Quot], α not free in Γ

$\dfrac{}{x : \iota}\text{[Lit]} \\ \dfrac{\Gamma\vdash e : \sigma}{\Gamma\vdash [e] : \forall\alpha.\:\alpha\to\sigma\times\alpha}\text{[Quot]}, \alpha \text{ not free in } \Gamma$

연결 언어에는 부족하기 때문에 적용 규칙이 없습니다.

유형은 리터럴, 유형 변수 또는 스택에서 스택까지의 함수이며 스택은 오른쪽 중첩 튜플로 정의됩니다. 모든 함수는 "스택의 나머지"와 관련하여 암시 적으로 다형성입니다.

\begin{aligned} τ & ::= ι | α | ρ \to ρ \\ ρ & ::= () | τ \times ρ \\ σ & ::= τ | \forall α . σ \end{aligned}

$\begin{aligned} \tau & ::= \iota \:\big|\: \alpha \:\big|\: \rho\to\rho \\ \rho & ::= () \:\big|\: \tau\times\rho \\ \sigma & ::= \tau \:\big|\: \forall\alpha.\:\sigma \end{aligned}$

이것이 의심되는 첫 번째 사실이지만, 무엇이 잘못되었는지 정확히 모르겠습니다.

가독성을 높이고 괄호를 줄이려면 다음과 같이 가정합니다 형식 체계에서 . 또한 단일 값이 아닌 스택을 나타내는 변수에 대문자를 사용할 것입니다. $a\:b = b \times (a)$

6 가지 기본 요소가 있습니다. 처음 다섯은 무해합니다. dup최고 가치를 가져 와서 두 개의 사본을 만듭니다. swap상위 2 개 값의 순서를 변경합니다. pop최고 값을 버립니다. quote값을 가져 와서이를 반환하는 견적 (함수)을 생성합니다. apply스택에 견적을 적용합니다.

\begin{aligned} d u p & :: \forall A b . A b \to A b b \\ s w a p & :: \forall A b c . A b c \to A c b \\ p o p & :: \forall A b . A b \to A \\ q u o t e & :: \forall A b . A b \to A (\forall C . C \to C b) \\ a p p l y & :: \forall A B . A (A \to B) \to B \end{aligned}

$\begin{aligned} \mathtt{dup} & :: \forall A b.\: A\:b \to A\:b\:b \\ \mathtt{swap} & :: \forall A b c.\: A\:b\:c \to A\:c\:b \\ \mathtt{pop} & :: \forall A b.\: A\:b \to A \\ \mathtt{quote} & :: \forall A b.\: A\:b \to A\:(\forall C. C \to C\:b) \\ \mathtt{apply} & :: \forall A B.\: A\:(A \to B) \to B \\ \end{aligned}$

마지막 조합 compose은 두 인용문을 가져 와서 연결 유형, 즉 . 정적으로 유형이 지정된 연결 언어Cat에서 유형은 매우 간단합니다. $[e_1]\:[e_2]\:\mathtt{compose} = [e_1\:e_2]$ compose

c o m p o s e :: \forall A B C D . A (B \to C) (C \to D) \to A (B \to D)

$\mathtt{compose} :: \forall A B C D.\: A\:(B \to C)\:(C \to D) \to A\:(B \to D)$

그러나이 유형은 너무 제한적입니다. 첫 번째 함수 의 생성이 두 번째의 소비 와 정확히 일치해야 합니다. 실제로는 고유 한 유형을 가정 한 다음 통합해야합니다. 그러나 어떻게 그 유형을 쓸 것입니까?

c o m p o s e :: \forall A B C D E . A (B \to C) (D \to E) \to A \dots

$\mathtt{compose} :: \forall A B C D E. A\:(B \to C)\:(D \to E) \to A \dots$

let $\setminus$ 가 두 유형 의 차이 를 나타내 하면 유형을 올바르게 쓸 수 있다고 생각compose 합니다.

c o m p o s e :: \forall A B C D E . A (B \to C) (D \to E) \to A ((D ∖ C) B \to ((C ∖ D) E))

$\mathtt{compose} :: \forall A B C D E.\: A\:(B \to C)\:(D \to E) \to A\:((D \setminus C)\:B \to ((C \setminus D)\:E))$

이것은 여전히 비교적 간단합니다. compose함수 와 하나의 취합니다 . 결과는 의해 생성되지 않은 소비 위에서 소비하고, 의해 소비되지 않는 의 생산 위에 생성 $f_1 : B \to C$ $f_2 : D \to E$ $B$ $f_2$ $f_1$ $D$ $f_1$ $f_2$ . 이것은 일반적인 구성에 대한 규칙을 제공합니다.

\frac{Γ ⊢ e_{1} : \forall A B . A \to B Γ ⊢ e_{2} : \forall C D . C \to D}{Γ ⊢ e_{1} e_{2} : ((C ∖ B) A \to ((B ∖ C) D))} [Comp]

$\dfrac{\Gamma\vdash e_1 : \forall A B.\: A \to B \quad \Gamma\vdash e_2 : \forall C D. C \to D}{\Gamma\vdash e_1 e_2 : ((C \setminus B)\:A \to ((B \setminus C)\:D))}\text{[Comp]}$

그러나 나는이 가상의 실제로 어떤 것에 해당 하는지 모른다 . 그리고 내가 잘못 돌았다고 생각할 정도로 오랫동안 서클에서 그것을 쫓아왔다. 튜플의 간단한 차이 일 수 있습니까? $\setminus$

\begin{aligned} \forall A . () ∖ A & = () \\ \forall A . A ∖ () & = A \\ \forall A B C D . A B ∖ C D & = B ∖ D iff A = C \\ otherwise & = undefined \end{aligned}

$\begin{align} \forall A. () \setminus A & = () \\ \forall A. A \setminus () & = A \\ \forall A B C D. A B \setminus C D & = B \setminus D \textit{ iff } A = C \\ \text{otherwise} & = \textit{undefined} \end{align}$

내가 보지 못하는 것에 대해 끔찍하게 깨진 것이 있습니까? 아니면 올바른 궤도에 있습니까? (아마도이 물건 중 일부를 잘못 정량화했으며 해당 영역의 수정 사항도 감사하겠습니다.)

— 존 퍼디
소스

문법에서 변수를 어떻게 사용합니까? 이 질문은 필요한 "서브 타이핑"을 처리하는 데 도움이됩니다.

— jmad

@ jmad : 질문을 이해하지 못했습니다. 형식 변수는 형식 체계를 공식적으로 정의하기 위해 존재하며 언어 자체에는 전혀 변수가 없으며 정의 만 있으며 [상호 적으로] 재귀적일 수 있습니다.

— Jon Purdy

그럴 수 있지. 왜 (예를 들어) 규칙 compose이 너무 제한적 이라고 말할 수 있습니까 ? 나는 이것이 이것처럼 괜찮다는 인상을 받았습니다. (예를 들어 제한

는 λ- 미적분과 같은 적용과 같은 통일에 의해 처리 될 수있다)

C = D

$C=D$

— jmad

@jmad : 물론입니다. 로 twice정의 된 것을 고려하십시오 dup compose apply. 견적을 받아서 두 번 적용하십시오. [1 +] twice괜찮습니다 :

유형의 두 가지 기능을 구성하고 있습니다. 그러나 그렇지 않은 경우 :

ι \to ι

$\iota\to\iota$ [pop] twice

, 문제는

\forall A b . f_{1}, f_{2} : A b \to A

$\forall A b.\:f_1, f_2 : A\:b\to A$

이므로 유효해야하며 유형

이어야하지만 표현식이 허용되지 않습니다.

A \neq A b

$A \neq A\:b$

. 해결책은 물론 한정자를 올바른 장소에 두는 것이지만, 주로순환 정의없이유형을 실제로 작성하는 방법이 궁금합니다.

\forall A b . A b b \to A

$\forall A b.\:A\:b\:b\to A$ compose

— Jon Purdy 2016 년

다음의 랭크 -2 타입 는 충분히 일반적인 것 같습니다. 그것은 문제에서 제안 된 유형보다 훨씬 다형성입니다. 여기서는 다중 인수 함수를 캡처하는 연속 스택 덩어리에 대해 변수를 수량화합니다.

compose : \forall A B C δ . δ (\forall α . α A \to α B) (\forall β . β B \to β C) \to δ (\forall γ . γ A \to γ C)

$\text{compose}:\forall ABC\delta. \delta\ (\forall \alpha.\alpha\ A\to \alpha B)\ (\forall \beta.\beta\ B\to \beta C) \to \delta\ (\forall \gamma.\gamma\ A\to \gamma C)$

그리스어 문자는 명확성을 위해 나머지 변수에 사용됩니다.

스택에서 첫 번째 요소의 출력 스택이 두 번째 요소의 입력 스택과 같아야한다는 제약 조건을 나타냅니다. 변수 적절하게 인스턴스화 $B$ 두 개의 실제 인수에 대해 를 것은 질문에서 제안 할 때 새 작업을 정의하는 대신 제약 조건이 올바르게 작동하는 방법입니다.

유형 검사 순위 2 유형은 일반적으로 결정 불가능하지만 실제로는 좋은 결과를 제공하는 몇 가지 작업이 수행되었지만 (Haskell의 경우)

Simon L. Peyton Jones, Dimitrios Vytiniotis, Stephanie Weirich, Mark Shields : 임의 순위 유형에 대한 실제 유형 유추. J. Funct. 프로그램. 17 (1) : 1-82 (2007)

구성의 유형 규칙은 다음과 같습니다.

\frac{Γ ⊢ e_{1} : \forall α . α A \to α B Γ ⊢ e_{1} : \forall α . α B \to α C}{Γ ⊢ e_{1} e_{2} : \forall α . α A \to α C}

$\dfrac{\Gamma\vdash e_1:\forall \alpha. \alpha\ A\to \alpha\ B\qquad \Gamma\vdash e_1:\forall \alpha. \alpha\ B\to \alpha\ C} {\Gamma\vdash e_1\ e_2:\forall \alpha.\alpha\ A\to\alpha\ C}$

유형 시스템이 일반적으로 작동하게하려면 다음 전문화 규칙이 필요합니다.

\frac{Γ ⊢ e : \forall α . α A \to α B}{Γ ⊢ e : \forall α . C A \to α C B}

$\dfrac{\Gamma\vdash e:\forall \alpha. \alpha\ A \to \alpha\ B} {\Gamma\vdash e:\forall \alpha.C\ A\to \alpha\ C\ B}$

— 데이브 클라크
소스

감사합니다. 매우 도움이되었습니다. 이 유형은 단일 인수의 기능에 적합하지만 여러 인수를 지원하지 않습니다. 예를 들어, dup +형식을 가져야한다

때문에 형이

ι \to ι

$\iota\to\iota$ +

. 그러나 주석이없는 경우 유형 유추는 절대적인 요구 사항이므로 분명히 드로잉 보드로 돌아 가야합니다. 그래도 다른 접근 방식을 모색 할 아이디어가 있으며 그것이 잘되면 블로그에 올릴 것입니다.

ι ι \to ι

$\iota\:\iota\to\iota$

— Jon Purdy 2016 년

스택 유형은 스택 조각에 대해 수량화되므로 두 개의 인수 함수를 처리하는 데 아무런 문제가 없습니다. dup +위에서 정의한대로 작성을 사용하지 않으므로 이것이 어떻게 적용되는지 잘 모르겠습니다 .

— Dave Clarke

어, 맞아 [dup] [+] compose. 그러나 나는

읽습니다.

α B

$\alpha\:B$

B \times α

$B\times\alpha$

B = ι \times ι

$B=\iota\times\iota$

(ι \times ι) \times α

$(\iota\times\iota)\times\alpha$

ι \times (ι \times α)

$\iota\times(\iota\times\alpha)$

스택을 잘못된 방향으로 만들고있을 수 있습니다. 스택을 구축하는 쌍이 프로그래밍 언어로 나타나지 않는 한 중첩 문제는 생각하지 않습니다. (내 답변을 업데이트 할 계획이지만 먼저 약간의 조사가 필요합니다.)

— Dave Clarke

예, 중첩은 구현 세부 사항입니다.

— Jon Purdy 2016 년