무차별 들로네 삼각 분할 알고리즘의 복잡성

Mark de Berg 등의 "Computational Geometry : Algorithms and Applications" 책 에는 들로네 삼각 분할 (Delaunay Triangulation) 계산을위한 매우 간단한 무차별 알고리즘이 있습니다. 이 알고리즘은 유효한 들로네 삼각 분할 (Delaunay Triangulation)에 나타나지 않을 수있는 다른 가장자리 인 잘못된 가장자리 라는 개념을 사용합니다 . 각 단계에서 알고리즘은 이러한 잘못된 모서리를 찾아서 잘못된 모서리 가 없을 때까지 필요한 변위 ( 에지 플립 이라고 함)를 수행합니다 .

알고리즘 LegalTriangulation ( ) $T$

입력 . 점의 일부 삼각 측량 는 설정 합니다. 출력 . 의 법적 삼각 분할 . $T$ $P$
$P$

반면 잘못된 에지 포함 $T$ $p_ip_j$
마시기
$\quad$ 하자 및 에 인접하는 두 개의 삼각형이 될 . $p_i p_j p_k$ $p_i p_j p_l$ $p_ip_j$
$\quad$ 에서 를 제거 하고 대신 추가하십시오 . 돌려줍니다 . $p_ip_j$ $T$ $p_kp_l$
$T$

이 알고리즘이 에서 실행된다고 들었습니다. $O(n^2)$ 최악의 경우 시간에 . 그러나이 진술이 올바른지 아닌지는 명확하지 않습니다. 그렇다면 어떻게이 상한을 증명할 수 있습니까?

— 미하일 두 보프
소스

위에서 언급 한 형태로

시간이 걸립니다. 그러나 스택을 사용하면

시간 내에 수행 할 수 있습니다 . 이 강의 노트 의 마지막 페이지를 볼 수 있습니다 . 기본 주장은 최대

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

에지는 플립.

(\binom{n}{2})

$\binom{n}{2}$

— rizwanhudda

@ rizwanhudda : 왜 대답하지 않습니까?

— Raphael

들로네 삼각 분할 (Delaunay Triangulation)은 포물면으로 들어 올린 2D 점 세트의 하단 볼록 껍질로 간주 될 수 있습니다. 따라서 2d 점 세트를 가져 와서 모든 점 에 좌표 할당 하면 하단 볼록 껍질이 평면 으로 투영됩니다. 들로네 삼각 분할을 제공합니다. $(x_i,y_i)$ $z$ $z_i=x_i^2+y_1^2$ $xy$

이러한 관점를 사용하면, 가장자리 무엇을 의미 하는가 불법이란? 우선, 모든 삼각 측량 대해 포물선 맵을 사용하여 투영되는 3d (삼각 측량) 표면을 얻을 수 있습니다 . 물론이 표면은 반드시 볼록한 것은 아니며 볼록한 경우 는 들로네 삼각 분할 (Delaunay Triangulation)이됩니다. 간단히 말해서 가장자리 표면의 볼록 부, A의 장애물 인 오목 가장자리. 이 모서리를 뒤집 으면 리프트 표면의 상황이 로컬로만 변경됩니다. 4 점을 봅시다 $(p_i,p_j)$ $T$ $T$ $T$ $(p_i,p_j)$ . 3D에서 사면체를 형성하여 사변형으로 투영됩니다. 두 개의 삼각형 및 이 오목한 가장자리 를 정의하므로 삼각형 및 는 볼록한 가장자리를 정의합니다 $p_i,p_j,p_k,p_l$ $p_ip_jp_k$ $p_ip_jp_l$ $(p_i,p_j)$ $p_kp_lp_i$ $p_kp_lp_j$ $(p_l,p_k)$ . 따라서, 불법 에지를 뒤집는 것은 리프팅에서 오목 에지를 볼록 에지로 교체하는 것에 대응한다. 이렇게 뒤집 으면 다른 볼록한 가장자리가 오목한 가장자리로 바뀔 수 있습니다.

3D 플립 해석 비고 : 이미지는 기하학적으로 정확하지 않으며 스케치로만 간주해야합니다.

$T'$ $T'$ $T$ $xy$ $T'$ $T'$ $(p_i,p_j)$ $T'$ $xy$ 평면.

$(p_i,p_j)$ lies "behind" all these surfaces. Hence, it can never reappear during the flipping process. Since there are only $n$ choose 2 possible edges, we have at most $O(n^2)$ flips.

— A.Schulz
소스