유사 역행렬을 찾는 복잡성

임의의 필드의 무어-펜로즈 유사 역행렬 을 찾으려면 몇 개의 산술 연산이 필요 합니까?

행렬이 뒤집을 수없고 복잡한 값을 갖는 경우에는 역수 일뿐입니다. 역을 구하려면 시간이 걸립니다. 여기서 는 행렬 곱셈 상수입니다. Algorithms 3rd Edition 소개의 정리 28.2입니다.$O(n^\omega)$$\omega$

매트릭스 경우 선형 독립적 행 또는 열 및 복소수 값 후 의사 - 행렬로 계산 될 수 갖는다 또는 각각 여기서 의 공액 전치 . 특히, 이것은 의 의사 역수를 구하기위한 시간을 의미합니다$A$$A^*(A A^*)^{-1}$$(A A^*)^{-1}A^*$$A^*$$A$$O(n^\omega)$$A$ .

일반적인 행렬의 경우 내가 본 알고리즘은 QR 분해 또는 SVD를 사용 하며 최악의 경우 산술 연산 을 수행하는 것으로 보입니다 . 더 적은 연산을 사용하는 알고리즘이 있습니까?$O(n^3)$

우선 사람들은 가 부정 하다는 것을 잊는 경향이 있습니다. 우리가 쓸 때마다 O ( N ω를 ) 모두가, 우리가 실제로 의미 γ > ω , 시간에 실행되는 알고리즘이 O의 γ ( N γ ) .$\omega$$O(n^\omega)$$\gamma > \omega$$O_\gamma(n^\gamma)$

켈러-게릭은 매트릭스 제공하는 방법 (다른 중) 하였다 에 랭크 정규형 시간에 O ( N ω ) . 경우 A는 랭크 갖는 R을 , 다음의 랭크 정규형 A는 이고 S ( I는 r에 0 0 0 ) T를 일부 가역위한 S , T 적절한 치수; 435 페이지의 대수 복잡성 이론, 법안 16.13도 참조하십시오.$A$$O(n^\omega)$$A$$r$$A$

순위 정규형은 Wikipedia 기사에서 언급 한 순위 분해와 유사합니다. , 여기서 X 는 r 열이고 Y 는 r 행입니다. 실제로 X 를 S 의 첫 번째 r 열로 , Y 를 T 의 첫 번째 r 행으로 사용할 수 있습니다 . 이 분해가 주어지면 Wikipedia는 Hermitian adjoint, matrix multiplication 및 matrix inverse만을 사용하여 유사 역수에 대한 공식을 제공합니다. 따라서, 의사 - 역행렬은 시간에 계산 될 수 O ( N 개의 ω ) .$A = XY$$X$$r$$Y$$r$$X$$r$$S$$Y$$r$$T$$O(n^\omega)$