모든 의사 난수 생성기는 궁극적으로 주기적인가?

모든 의사 난수 생성기는 궁극적으로 주기적인가? 아니면 결국 주기적인가?

주기적으로 나는 합리적인 숫자와 마찬가지로 결국 주기적 하위 시퀀스를 생성한다는 것을 의미합니다 ...

그리고 의사 랜덤은 난수의 알고리즘 / 수학적 생성을 의미합니다 ...

임의의 외부에 의존하지 않고 제한된 양의 메모리를 사용하는 모든 의사 난수 생성기 는 유한 한 상태이기 때문에 궁극적으로 주기적입니다. 당신은 그것들을 그들의 출력을주는 특별한 "출력"상태를 갖는 거대한 결정 론적 유한 오토마타로 생각할 수 있습니다. 모든 유한 오토마타는 결국 주기적이므로 모든 의사 난수 생성기는 결국 주기적 출력을 생성합니다.

그러나 기간 길이는 엄청날 수 있습니다. 예를 들어, 128 비트의 암호화 상태와 PRNG는 가끔씩 만 사이클 수 로 출력 한 모든 나노초 비트 출력의 비트, 그래서하더라도 솔라 죽은 감수 PRNG의 반복 될 것이다.$2^{128}$

PRNG가 무한한 양의 메모리를 사용할 수 있으면 (실제적이지 않음) 예를 들어 의 이진 확장을 출력 할 수 있습니다$\sqrt{2}$$\sqrt{2}$

PRNG는 상태 머신입니다. 그것들이 내부 입력만을 기반으로한다면 (하드웨어와 소프트웨어의 조합 인 Poker Stars RNG와 대조적으로 ... 음성 샘플에서 지속적으로 시드) C는 (C, S1, ...)입니다. 현재 (또는 이전) 값이고 S1, ...은 상태 세트가 될 수 있습니다.

C의 가능한 N 값이 있고 (메모리가 제한되어 있기 때문에) N + 1 번 반복하면 C에 대해 같은 값을 적어도 두 번 누르십시오. 2N + 1 회 반복하면 C에 대해 같은 값을 3 번 이상 맞습니다.

T = (Ct, S1t, S2t)를 특정 상태 (현재 값 및 기타 상태)로 둡니다.
M = # {S1} X에 대한 값} {S2} X에 대한 값} {{}은 가능한 상태 조합의 기본이됩니다 (다시 : 메모리가 제한되어 있기 때문에).

NM + 1 배의 알고리즘을 반복하면 동일한 상태 (Ct, S1t, S2t, ...)의 두 배 이상에 도달하여 처음과 동일한 출력 값과 동일한 후속 상태 시퀀스를 생성합니다. 너무 주기적으로.

주기적이지 않은 의사 랜덤 시퀀스의 간단한 예 : 모든 양의 정수의 이진 표현을 순서대로 연결하십시오.

110111001011101111000...

( "."를 앞에 붙이고 이진 Champernowne 상수 라고합니다 .)

물론 이것은 의사 난수 시퀀스에 이르기까지 품질이 높지는 않지만 많은 메모리를 사용하지 않고도 가능하다는 것을 보여줍니다.

이 예제에서 상태를 저장하는 데 필요한 메모리는 이론적으로 제한이 없습니다. 그러나 그것은 매우 느리게 성장합니다 (즉, 숫자를 계산하는 데 필요한 메모리와 비교할 때$\pi$$\sqrt{2}$

무한한 메모리 요구 사항은 튜링 머신의 문제가 아니며 성장 속도가 너무 느리기 때문에 실제로는 문제가되지 않지만이 용도에 따라 다릅니다.

$2^{128}$

차별화 요소는 규칙적인 간격으로 하위 시퀀스를 가져 와서 PRNG에서 다른 PRNG를 파생시키는 것과 같은 일을하려는 경우입니다. 비주기적인 PRNG로 시작하면 샘플링 한 기간에 관계없이 비주기적인 결과를 얻을 수 있지만 기간의 PRNG로 시작하는 경우$2^{128}$