최소 이동 횟수와 숫자를 일치시키는 알고리즘

이것은 일종의 편집 거리 질문이며 매우 쉽습니다. 나는이 주제에 대해 아주 두뇌 죽었고 지금까지 이해할 수 없습니다.

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일련의 숫자가 주어진다면

[3, 1, 1, 1]

최소한의 "이동"을 사용하여 모든 숫자를 어떻게 같은 숫자로 가장 효율적으로 바꿀 수 있습니까? "이동"이란 숫자에서 하나를 추가하거나 제거하는 것을 의미합니다.

위의 예에서 가장 효율적인 이동은 다음과 같습니다.

[1, 1, 1, 1]

이를 위해서는 2 번의 이동이 필요하며 첫 번째 숫자는 두 번 줄어 듭니다.

더 큰 수백 개의 숫자가 주어지면 이것을 찾는 가장 좋은 방법을 알 수 없습니다.

원래 반올림 된 평균 수 (모두 합계를 길이로 나눈 값)를 계산 한 다음 계산 된 평균으로 줄이려고 시도했지만 위의 예에서는 2 개 대신 4 개의 이동이 필요했습니다.

나는 내가 이해할 수 있다고 생각한다.

1. 평균,
2. 모드
3. 중앙값

최소 거리를 선택하여 각각의 거리를 편집하십시오. 그러나 이것이 모든 단일 인스턴스에서 올바른지 확실하지 않습니다. 어떻게 알 수 있습니까?

답은 중간 값을 취하는 것입니다. 중앙값의 특성 중 하나는 각 요소까지 의 L1 거리 를 최소화 한다는 것 입니다. (Wikipedia 기사를 이해하려면 확률 분포를 원래 일련의 숫자에 대한 균일 분포로 간주하십시오).

이것은 문제를 해결하는 알고리즘입니다 (원래 dc2에 의해 작성 됨 ).

function median(arr) {
  arr.sort(function(a, b) { return a - b; });
  var half = floor(arr.length/2);
  if ( arr.length % 2 ) {
    return arr[half];
  } else {
    return (arr[half-1] + arr[half]) / 2.0;
  }
}

function minl1(arr) {
  var moves = 0;
  var mdn = median(arr);
  for ( var i = 0; i < arr.length; ++i ) {
    moves += Math.abs(mdn - arr[i]);
  }
  return moves;
}

minl1([3, 1, 1, 1]); // -> 2

TCSGrad가 언급했듯이 정수 , 당신은 정수를 찾고 m 최소화 δ를 ( m ) = N Σ 전 = 1 | m - x i | . δ ( m + 1 ) − δ ( m ) 를 계산하는 것이 좋습니다 : δ ( m + 1 ) − δ ( m ) =n ∑ i = 1 { + 1 m ≥ x $x_1,\ldots,x_n$$m$

$$\delta(m) = \sum_{i=1}^n |m - x_i|.$$ $\delta(m+1) - \delta(m)$ 마찬가지로m이로 진행-∞로+∞, 수량δ(m+1)-δ(m $$\delta(m+1) - \delta(m) = \sum_{i=1}^n \begin{cases} +1 & m \geq x_i \\ -1 & m < x_i \end{cases} = \#\{i : m \geq x_i\} - \#\{i : m < x_i\}.$$ $m$$-\infty$$+\infty$$\delta(m+1) - \delta(m)$에서 간다 에 N . 또한 x 1 , … , x n 지점에서만 값을 전환합니다 . 그것의 최적 값을 확인하는 것은 어렵지 않다 m이 되는 최소 포인트이다 δ ( m + 1 ) - δ ( m ) ≥ 0 . 이 최소 점은 x i 중 하나 이므로 편집 거리는 min ( δ ( x 1 ) , … , δ ( $-n$$n$$x_1,\ldots,x_n$$m$$\delta(m+1) - \delta(m) \geq 0$$x_i$ .$\min(\delta(x_1),\ldots,\delta(x_n))$

$x_i$$n$$m$$x_i$$\delta(m+1) - \delta(m) = 1$$\delta(m) - \delta(m-1) = -1$$m$$n$$x_i$$\delta$$x_i$

문제는 LP 문제로 공식화 될 수 있습니다.

$n$$[a_1,a_2... a_n]$

$$\min \sum |a_i - x|$$

$x$

$x$$x$

편집 : 의견에서 지적했듯이 목적 함수는 절대 차이에 대한 합이어야합니다. 표준 LP로 다시 변환하기 위해 LP를 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

$$\min \sum a'_i$$

대상 :

$$a'_i \geq a_i - x\ \forall i$$ $$a'_i \leq a_i - x\ \forall i$$ $$a'_i, x' \geq 0\ \forall i$$

$a_i' = | a_i - x|\ \forall i$$x$