다른 정규 언어의 수

알파벳 주어지면, 비 결정적 유한 오토 마톤에 $\Sigma = \{ a,b \}$ 의해 수용 될 수있는 다른 정규 언어는 몇 개 입니까? $n$

예를 들어, 고려하십시오 $n=3$ . 그런 다음 $2^{18}$ 다른 전환 구성과 $2^3$ 다른 시작 및 종료 상태 구성을 가지므로 상한이 $2^{24}$ 다른 언어입니다.
그러나 이것들 중 다수는 동등 할 것이며 이것에 대한 테스트는 PSPACE-Complete이므로 각 설정을 테스트하는 것은 불가능할 것입니다.
주어진 자원에 의해 받아 들여지는 다른 언어의 수를 묶는 다른 수단이나 조합론이 있습니까?

— john_leo
소스

아닌

시작 상태 구성 만 있습니다

2^{3}

$2^3$ .

— FrankW

빠른 아이디어 : 정규 언어는 엄청나게 많은 등가 클래스로 구성됩니다 (참조 : Myhill-Nerode).

n

$n$ 오토 마톤이 지원할 수있는 여러 가지 등가 클래스 세트는 무엇입니까?

— Raphael

Domaratzki, Kisman 및 Shallit의 "n 개가있는 유한 오토마타에서 허용되는 고유 언어 수"에 대한 논문을 Google에 게재하는 것이 도움이 될 수 있습니다.

— Hendrik Jan

여기에 종이 인용 URL이 있습니다

— vzn

tcs.se에서 거의 동일한 질문을 발견했습니다 . DFA가 n 크기의 DFA에서 허용하는 언어 수는 몇 개입니까?

— vzn

이 문서는 n 개 국가의 유한 오토마타에서 허용되는 고유 언어 수 에 대한 논문 입니다 . 이 논문은 NFA가 수용하는 여러 언어에 대해 상대적으로 쉬우면서도 단단하고 상한과는 거리가 멀다. 고유 한 DFA 수에 대한 논의는 매우 통찰력이 있으므로 해당 부분도 포함시킬 것입니다.

이 논문은 단항 알파벳보다 개 상태 의 DFA에서 허용되는 여러 언어에 대해 엄밀한 점근 법으로 시작합니다 . 이는 주어진 상태 단항 DFA가 어떤 조건에서 최소인지 관찰함으로써 수행됩니다 . 그러한 경우에, 오토 마톤의 설명은 원시 단어 에 (이미 적으로) 매핑 될 수 있으며 , 그러한 단어의 열거는 잘 알려져 있고 Möbius 함수 의 도움으로 수행됩니다 . 이 결과를 사용하여 DFA 및 NFA 사례 모두에서 단항이 아닌 알파벳의 범위가 입증됩니다. $n$ $n$

좀 더 자세히 살펴 보겠습니다. A에 대한 알파벳 -letter 정의 $k$ 유의. 우리는 시작과및.

\begin{aligned} {에프}_{케이} (엔) & = the number of pairwise non-isomorphic minimal DFA's with n states \\ g_{k} (n) & = the number of distinct languages accepted by DFA's with n states \\ G_{k} (n) & = the number of distinct languages accepted by NFA's with n states \end{aligned}

$\begin{align*} f_k(n) &= \text{the number of pairwise non-isomorphic minimal DFA's with } n \text{ states}\\ g_k(n) &= \text{the number of distinct languages accepted by DFA's with } n \text{ states}\\ G_k(n) &= \text{the number of distinct languages accepted by NFA's with } n \text{ states} \end{align*}$

g_{k} (n) = \sum_{i = 1}^{n} f_{k} (i)

$g_k(n) = \sum_{i=1}^n f_k(i)$

f_{1} (k)

$f_1(k)$

g_{1} (k)

$g_1(k)$

단항 DFA의 열거

상태가 단항 DFA 는 최소 iff $M = (Q, \{a\},\delta, q_0,F)$ $q_0,\dots, q_{n-1}$

연결되어 있습니다. 따라서, 이름 변경 후, 상기 천이도 루프과 꼬리, 즉 구성 및 일부 . $\delta(q_i,a) = q_{i+1}$ $\delta(q_{n-1},a)=q_j$ $j \leq n-1$
루프는 최소입니다.
만약 , 다음 중 어느 하나 및 또는 및 . $j \neq 0$ $q_{j-1} \in F$ $q_{n-1} \notin F$ $q_{j-1} \notin F$ $q_{n-1} \in F$

루프 워드 IFF 최소화 에 의해 정의 $q_j,\dots, q_{n-1}$ $a_j \cdots a_{n-1}$ 인프리미티브가 형태로 기록 될 수 없음을 의미하는 일부 단어 용일부 정수. 문자 알파벳이상의길이의 원시 단어의 수가 알려져있다 (예를 들어, Lothaire,단어 조합론참조). 우리는

a_{i} = {\begin{cases} 1 if q \in F, \\ 0 if q \notin F \end{cases}

$\begin{equation*} a_i = \begin{cases} 1 \quad \text{if } q \in F, \\ 0 \quad \text{if } q \notin F \end{cases} \end{equation*}$

x^{k}

$x^k$

x

$x$

k \geq 2

$k \ge 2$

ψ_{k} (n)

$\psi_k(n)$

n

$n$

k

$k$

여기서

은뫼비우스 함수입니다

ψ_{k} (n) = \sum_{d | n} μ (d) k^{n / d}

$\begin{equation*} \psi_k(n) = \sum_{d | n} \mu(d) k^{n/d} \end{equation*}$

μ (n)

$\mu(n)$ 입니다.

의 도움

논문은

및

대한 정확한 공식을 증명 하고 무증상 (Theorem 5 and Corollary 6),

ψ_{k} (n)

$\psi_k(n)$

f_{1} (n)

$f_1(n)$

g_{1} (n)

$g_1(n)$

\begin{aligned} g_{1} (n) & = 2^{n} (n - α + O (n 2^{- n / 2})) \\ f_{1} (n) & = 2^{n - 1} (n + 1 - α + O (n 2^{- n / 2})) . \end{aligned}

$\begin{align*} g_1(n) &= 2^n \left(n-\alpha+O \left(n 2^{-n/2} \right)\right) \\ f_1(n) &= 2^{n-1}\left(n+1-\alpha+O \left(n 2^{-n/2} \right)\right). \end{align*}$

DFA의 열거

다음 단계는 하한입니다 . 정리 7은 임을 나타냅니다 세트에 대한 자동 장치에서의 정의 의 제한으로 에 . $f_k(n)$

f_{k} (n) \geq f_{1} (n) n^{(k - 1) n} \sim n 2^{n - 1} n^{(k - 1) n} .

$\begin{equation*} f_k(n) \ge f_1(n) n^{ (k-1)n} \sim n 2^{n-1}n^{(k-1)n}. \end{equation*}$

Δ \subset Σ

$\Delta \subset \Sigma$

M

$M$

M_{Δ}

$M_{\Delta}$

M

$M$

Δ

$\Delta$
의 DFA의

의 세트

을 고려하여 증명이 작동합니다.

S_{k, n}

$S_{k,n}$

M

$M$ 오버

알파벳 -letter

에 의해 정의

k

$k$

{0, 1, \dots, k - 1}

$\{0,1,\dots,k-1 \}$

시키는 중 하나 일 수 에 다른 단항의 DFA를 상태 및 $M_{ \{0 \}}$ $f_1(n)$ $n$
$k-1$ $h_i : Q \to Q$ $1 \le i < k$ $\delta(q,i) = h_i(q)$ $1 \le i < k$ $q \in Q$

$S_{n,k}$ $f_1(n) n^{ (k-1)n}$

NFA의 열거

$G_1(n)$ $2^n$ $\epsilon, a,\dots, a^{n-1}$ $n$
$G_1(n) \le \left( \frac{c_1 n}{\log n}\right)^n$ .
발의안 제 10 호는 $k \ge 2$ 우리는

엔 2^{(케이 - 1) 엔^{2}} \leq 지_{케이} (엔) \leq (2 엔 - 1) 2^{케이 엔^{2}} + 1.

$\begin{equation*} n 2^{(k-1)n^2} \le G_k(n) \le (2n-1) 2^{kn^2} +1. \end{equation*}$ 증거는 매우 짧기 때문에 그대로 사용합니다. 상한의 경우 각 쌍에 대해 NFA를 지정하여 지정할 수 있습니다.

(q, a)

$(q,a)$ 상태 및 기호

Q

$Q$ 같다

δ (q, a)

$\delta(q,a)$ (따라서 요인

2^{k n^{2}}

$2^{kn^2}$ . 최종 상태는 다음과 같이 할당 할 수 있습니다. 초기 상태는 최종 여부이거나, 상태 이름이 중요하지 않기 때문에 나머지 최종 상태는 다음과 같습니다.

{1, \dots, k}

$\{1,\dots,k\}$ ...에 대한

k \in [0.. n - 1]

$k \in [0..n-1]$ . Finally, if we choose no final states, we obtain the empty language.
For the lower bound the authors proceed in a similar way as in the proof for the DFA case: Define an NFA

M = (Q, Σ, δ, q_{0}, F)

$M=(Q,\Sigma,\delta,q_0, F)$ with

Σ = {0, 1, \dots, k - 1}

$\Sigma = \{ 0,1,\dots,k-1 \}$ ,

Q = {q_{0}, \dots, q_{n - 1}}

$Q=\{ q_0,\dots, q_{n-1} \}$ and

δ

$\delta$ :

\begin{aligned} δ (q_{i}, 0) & = q_{(i + 1) \mod n} for 0 \leq i < n \\ δ (q_{i}, j) & = h_{j} (i) for 0 \leq i < n, 1 \leq j < k \end{aligned}

$\begin{align*} \delta(q_i,0) &=q_{(i+1) \mod n} \quad \text{for } 0 \le i <n \\ \delta(q_i,j) &=h_j(i) \quad \text{for } 0 \le i <n,\, 1 \le j < k \end{align*}$ where

h_{j} : {1, \dots, n - 1} \to 2^{Q}

$h_j: \{ 1,\dots,n-1\} \to 2^Q$ is any set-valued function. Finally, let

F = {q_{i}}

$F=\{q_i\}$ for any

i \in [0.. n - 1]

$i \in [0..n-1]$ . There are

2^{(k - 1) n^{2}}

$2^{(k-1)n^2}$ such functions and

n

$n$ ways to choose the set of final states. One can then show that no two such NFA's accept the same language.

— john_leo
소스