공식 언어 사이에 적절한 동형이 무엇입니까?

알파벳 \ Sigma 위 의 공식 언어 은 \ Sigma ^ * 의 하위 집합, 즉 해당 알파벳 위에있는 단어 집합입니다. 대응하는 세트가 L \ cup L '의 서브 세트와 확장 적으로 동일하면 두 개의 공식 언어 L 과 L' 는 같습니다 . 복잡한 이론에서 언어를 사용 하여 "문제"의 개념 을 공식화 할 수 있습니다 . "일반적으로"확장 평등은 결정할 수 없다고 불평 할 수 있지만, 이것이 잘못 인도 될 것이라고 생각합니다.$L$$\Sigma$$\Sigma^*$$L$$L'$$L\cup L'$

나는 시간이 지남에 따라 다음과 같은 문제를 숙고하고 있습니다 : 알파벳 및 (여기서 , , 및 보다 두 언어 및$L$$L'$$\Sigma=\{a,b\}$$\Sigma'=\{c,d\}$$a$$b$$c$$d$동일한 "문제"를 "정확하게"묘사하더라도, 절대 문자는 같을 수 없습니다. 그러나 그들이 실제로 같은 "문제"를 "정확하게"묘사한다면 그들은 동형이어야한다. 제가 알고 싶은 것은 복잡성 이론에 적합한 동 형사상이라는 개념입니다. 나는 처음에 유한 상태 기계와 같이 계산적으로 약한 "번역자"가 허용 된 동형을 정의하는 데 사용될 수 있다고 생각했지만, 이것은 이미 동등한 논리식 사이의 사소한 구문 변환을 위해 분해되는 것으로 보입니다. (예를 들어 선형 논리에서 이중 의 구문 정의가있는이 표를 $A^\bot$ 참조하십시오 .)

오늘 저는 다음과 같은 아이디어를 가지고있었습니다. 특정 "결정 문제"에 해당하는 언어의 정의는 종종 두 부분으로 구성됩니다. (1) 허용 된 문제 인스턴스를 유한 한 문자열로 인코딩하고, (2) " 해당 언어에 속하는 문제 인스턴스를 허용했습니다. 주어진 유한 한 유한 문자열이 허용 된 문제 인스턴스의 인코딩인지 검사 할 때 이미 유한 상태 기계보다 계산적으로 강한 기계가 필요한 경우,이 강한 기계는 허용 된 동형의 정의에도 사용해야합니다.

질문 :이 추론은 내 문제를 "해결"할 가능성이 있습니까? 내 문제가 이미 해결되었으므로 올바른 참조 만 읽으면됩니까? 내 문제 자체가 의미가 있거나 확장 평등의 결정 불가능성에 대해 불평하는 것처럼 오도 되었습니까?

편집 (아직 답은 아님) "(1) 유한 문자열로 허용되는 문제 인스턴스의 인코딩"에 이미 표준화 된 입력의 (숨겨진) 가정이 포함되어 있음을 알았습니다. 이 가정이 없으면 두 개의 다른 유한 문자열이 동일한 문제 인스턴스에 해당 할 수 있습니다. 주어진 유한 문자열이 유효한지 확인하는 대신, 정규화 된 입력을 생성하고 유효하지 않은 문자열을 특수 문자열에 매핑 할 수 있습니다.

이 설정은 검사 / 정규화를 수행하는 머신에 이미 유한 문자열을 다른 유한 문자열로 변환하는 수단이 장착되어 있다는 이점이 있습니다. 이 작업에 허용 된 머신 (복잡성 클래스)은 문제 정의의 일부일 수 있으며 (iso) 모티프는 동일한 머신 (복잡성 클래스)을 사용합니다. (라파엘의 의견에서 "다중 다 대일 축소"의 제안은 실제로 문제에 대한 하나의 가능성이 될 것 입니다.)$\mathsf{P}$

단점은이 사양 방식이 결정 론적 기계에만 적합 할 수 있다는 것입니다. 비 결정적 시스템은 두 개의 입력 문자열이 동일한 문제 인스턴스에 해당하는지 여부를 지정 / 결정하는보다 유연한 방법이 필요할 수 있습니다.

내 문제가 이미 해결되었으므로 올바른 참조 만 읽으면됩니까?

추상적 언어 군 이론 이 적합하다. 예를 들어, 유한 상태 변환기에 의해 정의 된 형태는 원추형으로 이어집니다 . 1970 년 의 Eilenberg의 짧은 ICM 강연 은이 체계를 잘 설명하고, 1979 년 J. Hopcroft와 J. Ullman의 Automata 이론, 언어 및 계산 ( 1sted ) 소개 에서 11 장 "언어 가족의 속성 속성"을 참조하십시오 . 비결정론 적 언어 만이이 틀에 적합하다 ¹ . 결국 1985 년부터 J. Berstel과 D. Perrin 의 코드 이론 (Theory of codes) 은 저의 문제에 대한 합리적인 해결책을 제시하는 데 도움이되었습니다. 코드와 오토마타2009 년부터 J. Berstel, D. Perrin 및 C. Reutenauer 가이 책의 주요 개정판을 훨씬 더 광범위하게 다루고 있습니다.

이 추론이 내 문제를 "해결"할 가능성이 있습니까? 내 문제 자체가 의미가 있습니까? 아니면 ...만큼 잘못 안내되어 있습니까?

"문제의 개념을 공식화하기 위해"언어들간에 동 형사상을 모델링하기위한 하나의 올바른 범주가 있다는 가정은 잘못되었다. 공식 언어와 관련하여 흥미로운 여러 범주가 있습니다.

다음은 일대일 감소와 관련된 세 가지 흥미로운 범주로, total , partial 및 relational이라고 합니다. 카테고리의 목적은 쌍이다 유한의 알파벳의 및 언어 위에 단어 . 내용 전체 소스 객체 간의 morphisms 와 대상체 총 함수이다 와 . 내용 부분 은 morphisms 부분 기능은$(\Sigma, L)$$\Sigma$$L\subset\Sigma^*$$\Sigma$$(\Sigma, L)$$(\Sigma', L')$$f : \Sigma^* \to \Sigma'^*$$L=f^{-1}(L')$$f : \Sigma^* \to \Sigma'^*$ with , 여기서 경우 두 부분 함수 , 는 동일한 형태로 간주됩니다. 모든 . 들면 관계형 상기 morphisms이 관계는 와 , 및 그 소스 및 타겟 사이의 모든 두 morphisms은 동일한 것으로 간주 . 허용되는 함수 또는 관계 세트는 다양한 간단한 "번역사"로 제한되어 흥미로운 동 형사상이있는 범주를 얻을 수 있습니다.$L=f^{-1}(L')$$f$$g$$f(x)=g(x)$$x\in L$$R\subset \Sigma^* \times \Sigma'^*$$L=R^{-1}(L')$

• 에서 까지의 monoid homomorphism은 매우 기본적인 총 범주를 제공합니다. 이 범주의 동 형사상은 기본적으로 와 사이의 형용사 입니다. 합리적인 언어 군은 이러한 동 형사상을 더 잘 존중해야한다. 즉, 역 동 형사상에서 폐쇄되어야한다.$\Sigma^*$$\Sigma'^*$$\Sigma$$\Sigma'$
• 결정 론적 로그 공간 튜링 머신 변환기에 의해 정의 된 부분 기능은 상당히 자연스러운 부분 범주를 제공합니다. De Morgan의 법칙을 적용하여 부정을 원자로 옮기는 것과 같이 많은 사소한 구문 변환을 수행 할 수 있으며 기능적 유한 상태 변환기 ^1에 의해 정의 된 형태를 포함하며 정렬 할 수도 있습니다. 여전히 두 가지 형태의 정체성을 동일성 형태로 구성하는 것의 동등성이 양 방향으로 많은 수의 축소가 존재하는 것보다 훨씬 더 강력하기 때문에 여전히 완전히 관련되지 않은 두 언어를 동형으로 식별하지는 않습니다.
• 비 결정적 로그 공간 튜링 머신 변환기에 의해 정의 된 관계는 흥미로운 관계 범주를 제공합니다 . SAT는이 범주에서 HORNSAT에 대해 동형이지만 TAUTOLOGY 또는 다른 co-NP- 완전 문제가 HORNSAT에 대해 동형인지 여부는 공개 질문입니다.

알파벳 및 ( , , 및 는 별개의 문자)에 두 언어 및 는 동일하지 않을 수 있습니다. 그들은 "정확하게"같은 "문제"를 묘사합니다. 그러나 그들이 실제로 같은 "문제"를 "정확하게"묘사한다면 그들은 동형이어야한다.$L$$L'$$\Sigma=\{a,b\}$$\Sigma'=\{c,d\}$$a$$b$$c$$d$

위에서 설명한 매우 기본적인 총 범주는이 문제를 해결합니다.

문제는 "가장 실용적인 목적을 위해 거의 동일한"로 대체 "동일"만약 더 흥미로운된다 :하자 넘는 언어가 될 및하자 할 것을 치환 , , 및 로 에서 얻은 이상의 언어 . 어느 유의 전체 카테고리, 및 에 대한 동형 아닌 . 동일 마찬가지 될 부분 카테고리 부분 "두 부분 경우 함수$L$$\Sigma=\{U,C,A,G\}$$L'$$\Sigma'=\{0,1\}$$L$$U \to 00$$C \to 01$$A \to 10$$G \to 11$$L$$L'$$L=\Sigma^*$$f$모든 " 대한 가 정의에서 생략 된 경우 , 는 (형태로서) 동일한 것으로 간주된다 .$g$$f(x)=g(x)$$x\in L$

위에서 설명한 매우 자연스러운 부분 범주는 과 동형 을 만들기에 충분합니다 . 그것들을 동형으로 만드는 더 기본적인 (즉, 더 제한적인) 범주를 갖는 것이 좋을 것입니다. 다음 (성공적으로 더 제한적인) 범주는 나에게 합리적으로 보입니다.$L$$L'$

• 유일한 수용 상태가 초기 상태 인 명백한 유한 상태 변환기 ( ^2)에 의해 실현되는 부분 기능 . 이 부분 범주 의 동 형사상은 인식 가능한 가변 길이 코드 사이의 (사분의 일부) 궤적 입니다.
• 유일한 수용 상태가 초기 상태 인 결정적 유한 상태 변환기에 의해 실현되는 부분 기능. 이 부분 범주 의 동 형사상은 접두사 코드 들 사이의 (부분 집합) 형벌 입니다.
• 수락 가능한 유일한 상태가 초기 상태 인 정방향 및 역방향 결정 성 변환기에 의해 동시에 실현되는 부분 기능. 이 부분 범주 의 동 형사상은 bifix 코드 들 사이의 (일부) bijections 입니다.
• 블록 코드 들 사이의 동 형사상이 (의 부분 집합)이되도록 부분 기능의 추가 제한 도 의미가있다.

복잡한 이론에서 언어를 사용하여 "문제"의 개념을 공식화 할 수 있습니다.

범주 이론에 대해 배우기 전에도 "문제"의 개념을 공식화하는 "더 충실한"방법이 있는지 궁금했습니다. 범주 이론에 익숙해지면서 때로는 가능한 해결책을 찾으려고했지만 항상 첫 번째 걸림돌에서 빨리 포기했습니다 (아무도 신경 쓰지 않기 때문에). 내가 알고 유리 구레 비치는 몇 가지 관련 질문을 해결했다,하지만 난 더 뭔가 좋은 실용적인 적용의 추상, 독립 찾고 있었던 반면 자신의 솔루션은 실질적으로 적용 할 수 있습니다.

지난 3 주 동안의 여가 시간의 대부분은 마침내이 문제에 대해 진전을 보였습니다. 대부분의 시간은 내가 생각했던 가능한 솔루션에서 성가신 문제를 찾는 데 소비되었습니다. 진보한다는 생각은 오래된 책과 기사를 읽고 트랜스 듀서와 합리적 세트에 대한 많은 기본 개념과 사실을 배우는 것에서 비롯되었습니다. 마지막으로 접두사 코드와 Bifix 코드 (이전에는 Berstel의 책에서 biprefix 코드) 의 개념을 배웠고, 위에서 설명한 합리적인 ³ 가지 범주를 생각 해낼 수있었습니다 .

보다 명백한 카테고리의 일부 문제를 보지 않고는 (코드 관련) 카테고리를 이해하기 어려울 수 있습니다. 일반적인 문제는 컴포지션에서 클로저를 사용하면 제한적인 부분 함수 클래스를 정의하기가 어렵다는 것입니다. 또 다른 문제는 숫자의 자릿수가 낮은 엔디안 순서로 제공되는 경우 하나를 추가하거나 상수를 곱하는 것이 "계산하기 쉬운 함수"라는 사실과 관련이 있습니다. 엔디안 순서.

1 _{기능 유한 상태 변환기는 부분 기능을 실현하는 비 결정적 유한 상태 변환기입니다. 이러한 부분 기능은 결정적 유한 상태 변환기로 실현할 수 없습니다. 결정 론적 바이 머신 으로 구현할 수 있지만 , 공간 에서 작동하려면 입력에 대해 순방향 및 역방향 스캔이 필요할 수 있습니다 .$O(n)$$O(1)$}

2 _{명확한 유한 상태 변환기는 각 입력에 대해 최대 하나의 허용 경로가있는 비 결정적 유한 상태 변환기입니다. 부분 기능을 실현하므로 기능적인 유한 상태 변환기이기도합니다. 주어진 유한 상태 변환기가 명확한 지 여부를 결정할 수 있습니다.}

3 _{위에서 소개 한 전체 및 관계형 범주가 실제로 얼마나 합리적인지 잘 모르겠습니다 . 방금 부분 범주 에 대한 간단한 대안을 보여주고 싶었습니다 . 더 많은 대안들이, 예를 들어 상호 관계형 으로 쉽게 표현 될 수 있으며, 여기서 형태는 관계 와 및 동일한 소스와 대상 간의 두 가지 형태가 동일한 것으로 간주됩니다. $R\subset \Sigma^* \times \Sigma'^*$$L=R^{-1}(L')-R^{-1}(\Sigma'^*-L')$}