Hilbert의 10 번째 문제와 Chaitin의 Diophantine 방정식“컴퓨터”?

차이 틴의 메타 수학에서! 오메가 퀘스트 는 힐버트의 10 번째 문제에 대해 간단히 이야기합니다. 그런 다음 Diophantine Equation 은 양의 정수 계수를 가진 두 개의 동일한 다항식으로 변경할 수 있다고 말합니다 . .p = $p=0$$p=0 \iff p_1 = p_2$

그런 다음 우리는이 방정식을 "컴퓨터"처럼 생각할 수 있다고 말합니다.

Diophantine Equation Computer : 프로그램 : , 출력 : , 시간 :K , N , X , Y , Z , . .

$$L(k,n,x,y,z,...)=R(k,n,x,y,z,...)$$ $k$ $n$ $x,y,z,...$

왼쪽이 이고 오른쪽이 입니다. 그는 가이 컴퓨터의 프로그램이며 을 출력 한다고 말합니다 . 그는 또한 미지수는 다차원 시간 변수 라고 말한다 .R k $L$$R$$k$$n$

나를 혼란스럽게하는 것은 힐버트의 10 번째 문제는 이런 방식으로 볼 때 분명히 해결할 수 없다고 말합니다. 그는 기본적으로 "튜링의 중단 문제 때문에"라고 말합니다. 그러나 나는 그 연관성을 보지 못합니다 (이론을 배우기 시작했습니다). 나는 누군가 Chaitin의 요점이 무엇인지 더 명확하게 설명 할 수 있기를 바랐다.

Turing 's Halting Problem은 기본적으로 프로그램이 실제로 중단되기 전에 중단 될 시간을 예측할 수 없다는 것을 알고 있습니다 (제한된 시간이 주어짐). Chaitin이 제시 한 표기법을 사용하여 Hilbert의 10 번째 문제에 적용한 것은 무엇입니까?

좋은 질문. Hilbert의 10 번째 문제에 대한 추가 배경이 필요할 것 같습니다. 나는 이것이 과도하지 않기를 바랍니다.

문제는 다음과 같이 묻습니다.

Diophantine 다항식이 주어지면 변수를 만드는 변수 설정이 있는지 여부를 결정하는 알고리즘이 있습니까?$0$

이것은 70 년대에 MRDP (검색하고 싶다고 느끼면 Matiyasevich의 정리라고도 함)의 결과로 해결되었습니다.

정의 : D = { x 와 같이 k + 1 입력 에 Diophantine 다항식 p 가 있으면 세트 은 Diophantine 입니다.$D \subset \mathbb{N}$$p$$k+1$ 입니다.$D = \{ x \, | \, \exists y \in \mathbb{R}_+^k \, p(x, y) = 0\}$

Diophantine 세트는 정확하게 Turing 기계에서 인식 할 수있는 세트입니다.

$x$$y \in \mathbb{R}_+^k$$p(x, y)$$p(x, y) = 0$

어쨌든 MRDP 정리는 힐버트의 10 번째 문제를 어떻게 해결합니까? 잘...

$p(y)$$y$$p(y) = 0$

$M$$x$$p(y | x)$$0$

$p(y) = 0$