Bicriteria 근사 알고리즘이란 무엇입니까?

Bicriteria 근사 알고리즘이란 무엇입니까? 이것은 데이터 스트림 클러스터링의 경우 계속 나타납니다. 이것이 다목적 최적화와 관련이 있습니까?

여기에서 내가 본 곳은 cis.upenn.edu/~sudipto/mypapers/datastream.pdf입니다. 이 논문은 k- 평균 알고리즘의 스트리밍 버전에 관한 것입니다. 이 논문에는 참고 문헌이 있지만 그중 어느 것도 기준 근사 알고리즘이 무엇인지에 대한 설명을 제공하지 않습니다. Google에서 정확한 정의를 제공하는 것을 찾을 수 없습니다.

다목적 최적화 문제 에 기반한 해석을 제공 함으로써 Yuval Filmus의 답변을 확장하겠습니다 .

단일 목표 최적화 및 근사

컴퓨터 과학에서 우리는 종종 단일 목표로 최적화 문제 를 연구 합니다 (예를 들어, 일부 제약 조건에 따라 f ( x )를 최소화 함 ). 예를 들어 NP- 완전성을 증명할 때 해당 예산 문제 를 고려하는 것이 일반적 입니다. 예를 들어, 최대 도당 문제에서 목표는 도당의 카디널리티를 최대화하는 것이며, 예산 문제는 최소 k 도의 크기 도가 있는지를 결정하는 문제입니다 . 여기서 k 는 입력의 일부로 제공됩니다. 문제.

최대 크리크 문제의 경우와 같이 최적의 솔루션을 효율적으로 계산할 수없는 경우에는 최적 솔루션 의 곱셈 요소 내에서 솔루션을 출력 하는 근사 알고리즘 을 구합니다 . 예산 문제에 대한 근사 알고리즘을 고려할 수도 있습니다 . 최대화 문제의 경우 f ( x ) ≥ ck 를 만족시키는 솔루션을 출력하는 함수입니다 . 여기서 c 는 1보다 작은 수입니다. 이 상황에서 솔루션은 엄격한 제약 조건 f ( x ) ≥ k를 위반할 수 있지만 위반 의 "심각도"는 c 로 제한됩니다 .

다목적 최적화 및 이중 기준 근사

경우에 따라 두 목표를 동시에 최적화 할 수도 있습니다. 대략적인 예를 들어, "비용"을 최소화하면서 "수익"을 최대화하고 싶을 수 있습니다. 이러한 상황에서는 두 목표 사이에 상충 관계가 있기 때문에 최적의 단일 가치가 없습니다. 자세한 내용은 Pareto 효율 에 관한 Wikipedia 기사를 참조하십시오 .

2- 객관적 최적화 문제를 단일-객관적 최적화 문제로 전환하는 한 가지 방법 (목적 함수의 최적 값에 대해 추론 할 수 있음)은 각 목표마다 하나씩 두 가지 제약 문제 를 고려하는 것입니다. 문제를 동시에 최대화하는 경우 F ( X ) 최소화 g ( X가 ) 제 1 구속 문제를 최소화하는 g ( X 제약으로) 될 수 F ( X ) ≥ K , K는 상기 입력의 일부로서 주어진다을 이 단일 목표 최적화 문제입니다. 두 번째 제약 문제는 비슷하게 정의됩니다.

제 1 제약 문제에 대한 ( α , β )-기준 임계 값 근사 알고리즘 은 예산 매개 변수 k 를 입력으로 취하고 솔루션 x를 출력하는 함수 이다.

• $f(x) \geq \alpha k$ ,
• $g(x) \leq \beta g(x^*)$ ,

여기서 는 g에 대한 최적의 값을 얻는 솔루션입니다 . 두 번째 제약 조건 문제에 대한 기준 근사 알고리즘은 다음과 같은 솔루션을 출력합니다.$x^*$

• $f(x) \geq \alpha f(x^*)$ ,
• $g(x) \leq \beta \ell$ ,

다시 말해, bicriteria 근사 알고리즘은 첫 번째 목표의 예산 문제와 두 번째 목표의 최적화 문제에 대한 appoximation입니다. (이 정의는 2013 년에 Iyer and Bilmes에 의해 " 서브 모듈러 커버 및 서브 모듈러 백팩 제약 조건을 갖는 서브 모듈러 최적화 "의 4 페이지에서 수정되었다 .)

목표가 최대에서 최소로 또는 그 반대로 전환 될 때 부등식은 방향을 전환합니다.

종종 최적화 문제는 여러 매개 변수와 관련이 있습니다. 예를 들어, 그래프 분할 문제를 고려하십시오. 가중 그래프, 정수 및 매개 변수 주어지면 정점 세트를 최대 크기의 부분 로 분할하고 절단 모서리 수 를 최소화하면서 (다른 부분에 속하는 정점을 연결하는 모서리). 여기에는 두 개의 매개 변수가 있습니다 : 와 절삭 날 수.ρ k V 1 , … , V k ρ E ( V 1 , … , V k ) $k$$\rho$$k$$V_1,\ldots,V_k$$\rho$$E(V_1,\ldots,V_k)$$\rho$

들면 하는 bicriteria 근사 알고리즘 것 출력 파티션 각 부분이 많아야 크기 인 이고 절단 모서리의 수는 최대 . 여기서 는 원래 문제에서 최적의 절단 모서리 수이며 , 부품의 크기는 최대 .F ( N ) , g ( N ) V 1 , ... , V의 유전율 F ( N ) ρ g ( N ) O P T O P T$f(n),g(n) \geq 1$$f(n),g(n)$$V_1,\ldots,V_k$$f(n)\rho$$g(n)\mathrm{OPT}$$\mathrm{OPT}$$\rho$

다시 말해, bicriteria 근사 알고리즘은 일정한 한계에 의해 일부 제약을 위반하면서 특정 근사 비율을 달성합니다. 방금 설명한 문제에 대한 bicriteria 근사 알고리즘의 예 는 Makarychev 형제 의이 백서 를 참조하십시오 .