정지 문제와 열역학적 엔트로피 사이에 연결이 있습니까?

Alan Turing은 (숫자, 함수 등)을 계산하고 Halting Theorem을 증명 한 기계 (Turing Machine, TM)의 모델을 제안했습니다 .

TM은 기계 (또는 원하는 경우 엔진)의 추상 개념입니다. 홀팅 정리는 불가능한 결과입니다. Carnot Engine (CE)은 열 엔진의 추상 개념이며 Carnot은 열역학 엔트로피와 관련된 또 다른 불가능한 결과 인 Carnot Theorem을 증명했습니다 .

TM이 물리적으로 실현 가능하다는 것을 감안할 때 (적어도 CE만큼 또는 그렇지 않습니까?) 이러한 결과를 통합하고 엔트로피에 연결할 수있는 TM 또는 CE의 매핑 또는 표현 또는 "동질성"이 있습니까?

물론 알고리즘 정보 이론 (예 : Chaitin, Kolmogorov 등)과 엔트로피 (그 맥락에서) 측면에서 TM과 Halting Theorem의 공식이 있습니다. 이 질문은 더 물리적 인 엔트로피 개념을 요구합니다 (잠재적 대답 과정에서 알고리즘 엔트로피가 발생하면 괜찮지 만 질문이 정확히 요구하는 것은 아닙니다).

physics.se에서 양자 불확실성을 열역학 제 2 법칙과 관련시키는 또 다른 질문 을 확인할 수도 있습니다 . 참조 : 엔트로피의 대수 특성 , 엔트로피의 알고리즘 특성화 하는 엔트로피의 다양한 제제 간의 검토와 연결을

저는이 분야의 전문가는 아니지만 가역 컴퓨팅에 관심이 있으리라 믿습니다 . 여기에는 무엇보다도 물리적으로 가역적 인 프로세스와 논리적으로 가역적 인 프로세스 간의 관계에 대한 연구가 포함됩니다. 필자는이 분야의 "설립자"가 Ralph Landauer와 Charles H Bennett (IBM 리서치 모두)라고 말했다.

양자 컴퓨팅과 양자 정보 이론에 대해서도 다루지 만 "시간, 공간 및 에너지 측면에서 계산의 한계는 무엇입니까?"와 같은 질문도 검토합니다. (정확하게 기억한다면) 시간이 오래 걸리게함으로써 가역 계산 을 수행하는 데 필요한 에너지 를 임의로 작게 만들 수 있다고 알려져 있습니다 . 즉, 가역 계산을 수행하는 데 필요한 에너지 시간 (= action )을 일정하게 만들 수 있습니다. 이다 하지 비가역 계산의 경우.$\times$

이 분야에서 공부하는 많은 사람들은 또한 양자 컴퓨팅과 디지털 물리학 (우주가 큰 양자 셀룰러 오토마타라는 아이디어)을 연구하고 있습니다. 마음에 드는 연구원의 이름은 Ed Fredkin , Tommaso Toffoli 및 Norm Margolus 입니다.

이 질문들은 컴퓨터 과학 에 관한 주제 에 절대적으로 관한 것 입니다. 이론 (멋진 수학뿐만 아니라 멋진 물리학 포함)뿐만 아니라 계산의 궁극적 한계를 알고 자하는 엔지니어를위한 것입니다. 약간의 정보를 저장하는 데 필요한 최소 볼륨 또는 에너지가 있습니까? 동작은 일정 할 수있는 가역 연산을 수행하기 위해 필요하지만 상수가 무엇인지에 제한이 있는가? 이는 가능한 것의 경계를 넓히려는 엔지니어에게 중요한 지식입니다.

나는 Wikipedia에서 방금 읽은 것을 제외하고 Carnot 's Theorem을 잘 알고 있지는 않지만 그 커서 소개에서도 증명 의 구조 에 관련이 있으며 그것은 증명 기술이기 때문에 당신에게 흥미로울 수 있습니다. 많은 도메인에 적용 할 수 있습니다.

그들은 주어진 클래스에 어떤 속성이 없다는 것을 보여주는 모순에 의한 증거입니다. 일부 인스턴스에는 실제로 그 속성이 있다고 가정하고 모순이 뒤 따른다는 것을 보여줍니다.

Halting Problem은 특정 인스턴스 (임의의 머신이 주어진 입력으로 정지하는지 여부를 결정할 수있는 머신 M)와 관련하여 일부 자체 상호 작용에서 모순이 발생한다는 점에서 흥미 롭습니다. 특히 M을 구성 요소로 포함하는 새 시스템을 구성한 다음 새 시스템을 M에 공급합니다.

Carnot 's Theorem에 대해 더 많은 지식을 가진 사람이 그것에 대해 자세히 설명 할 수는 있지만 (내가 할 자격이 없음), 속성이있는 인스턴스가 있다면 건설 할 수있는 열 엔진 유형에서 모순이 발생하는 것으로 보입니다.

따라서 두 경우 모두 다음과 같이 구성됩니다.

• 일부 X에 속성 P가 있다고 가정하십시오.
  • X에서 관련 Y를 빌드하십시오.
  • X와 Y의 관계는 모순됩니다.
• 따라서 X에는 속성 P가 없습니다.

그러나 Halting Theorem 사례의 모순은 순수한 논리적 모순이며 고전적 논리의 설정에서 모순적이라는 점에서 차이가있는 것으로 보입니다. 내가 아는 바와 같이 카르노 정리는 열역학 제 2 법칙에 대해서만 모순된다. 논리적 관점에서 볼 때 그것은 공리입니다. 따라서 열역학 제 2 법칙에 따르지 않는 다른 공리 화를한다면 Carnot 's Theorem은 정리가되지 않을 것입니다. 왜냐하면 모순이 존재하지 않기 때문입니다. (제 2 법칙없이 열역학의 공식화는 지오 미터를 비 유클리드 기하학으로 이끌었던 일종의 질문이다.)

IANAPhysicist 그러나 나는 아무 관련이 없다. 튜링 기계는 순수한 수학의 대상이며 정지 문제의 결정 불가능 성은 어떤 물리적 구현과도 무관합니다.

이 다양한 여러 주제의 질문은 간단하고 쉬운 답변이 없으며 TCS 연구의 활발한 영역을 다루고 있습니다. 그러나 몇 년 동안 나에게 관심을 보인 물리와 TCS 사이의 연결에 대해 묻는 것은 드문 질문입니다. 몇 가지 다른 지시 사항이 있습니다. 기본적인 해답은 "개방형 질문"이지만, 활발한 / 현대적인 조사가 진행되고있다.

• 고급 물리학에는 놀라운 / 깊고 결정 불가능한 몇 가지 문제가 있습니다. 예를 들어 동적 시스템에서. 그러나 이것이 엔트로피 그 자체와 관련이있는 것을 보지 못했지만, 엔트로피는 모든 물리적 시스템과 관련이있다 (예를 들어 화학 이론에서 이것을 볼 수있다). 적어도 간접적 인 연결이 있어야한다.

• 엔트로피는 실제로 CS에서는 나타나지만 정보 이론과 코딩 이론의 형태로 더 많이 나타납니다. 코딩 이론의 탄생은 Shannon의 통신 코드와 관련된 엔트로피의 정의 / 분석을 포함했다. 이 위대한 온라인 심판 엔트로피 & 정보 이론 을 시도하십시오

• 엔트로피는 또한 때때로 PRNG에서 무작위성을 측정하는 것과 관련이있다. Razborov / Rudich 의 유명한 "Natural Proofs" 논문 에서 복잡한 클래스 분리 (예 : P =? NP)와 PRNG의 연결이 있습니다 . 이 subj에 대한 연구가 계속되고 있습니다.

• 열역학과 TCS와의 연결에 대해 언급했습니다. 물리학에서 스핀 글래스의 자화와 SAT 전 이점에서 연구 된 NP 완료 문제 사이에는 깊은 연관성이 있습니다. 물리적 시스템은 이와 관련된 엔트로피를 가지고 있지만 아마도 TCS 컨텍스트보다 물리 컨텍스트에서 더 많이 연구되었을 것입니다.

비 전통적인 컴퓨팅 패러다임에 대한 소개로 사용되는 간단한 사고 문제가 있습니다.

두 개의 전구와 해당 켜기 / 끄기 스위치가 있습니다. 누군가가 두 조명을 차례로 열고 닫습니다. 어느 쪽이 먼저 닫히고 어느 쪽이 마지막으로 닫혔는지 어떻게 알 수 있습니까? 이 문제점을 판별하기 위해 표시등을 열어야하는 최소 횟수를 결정하십시오.

대부분의 컴퓨터 과학자들은 보통 부울 논리 기반 솔루션을 찾으려고 노력합니다. 대답은 (적어도 그들 중 하나입니다) : 전구를 만지고 어느 것이 더 뜨거운지를 보는 것입니다.

컴퓨터 과학에는 열 기반 패러다임이 존재합니다. 시뮬레이션 된 어닐링은 알려진 알고리즘입니다 (D- 파 양자 컴퓨터는 알고리즘의 양자 대응 물입니다).

이제 Halting 문제와 관련이 있습니까?

오메가 수의 개념을 통한 Halting 문제에 관한 Chaitin과 Calude의 고전적인 작업은 Halting 문제의 확률 론적 공식과 연결될 수 있습니다. 내가 생각할 수있는 문제에 대한 가장 최근의 논문이며 ... 엔트로피 (열역학)와 명확한 관계가 없습니다. 이제 정보 엔트로피 (섀넌의 의미에서)가 당신에게 좋다면, 오메가 숫자는 섀넌 바운드의 의미에서 Halting 문제를 가장 간결한 방식으로 인코딩합니다.

간단히 말해, 오메가 숫자는 임의의 프로그램이 중단 될 확률입니다. 상수를 알면 유효한 모든 수학적 진술 (진리, 공리 등)을 열거 할 수 있으며 계산할 수 없습니다. Calude는 임의의 프로그램 길이에 반비례하는 측정 값과 접두사가없는 인코딩을 사용하여 균일 확률 측정 값을 변경하여 Omega 버전을 계산했습니다. 따라서 Chaitin 's Omega와 Calude 's Omega에 대해 말할 수 있습니다.

네! 이상하게도 이것에 대해 생각했습니다. 아이디어는 다음과 같습니다.

첫 번째 단계

Maxwell 's Demon 을 컴퓨터 프로그램으로 모델링하십시오 . 그러면 악마는 선택을 위해 문을 열기 전에 어떻게 입자의 속도와 위치를 알게 되었습니까?

악마가 입자가 문을 치는 속도를 측정 할 수 없다고 가정 해보십시오. 왜 그렇습니까? 파티클의 속도가 변하기 때문에, 악마는 측정하지 않고 보지 않고 열기 전에 알아 내야 합니다. 공정하게하기 위해 우리는 악마에게 게임의 규칙을 미리 알려줄 것입니다. 즉, 물리 / 동적 모델에 충분한 운동 법칙, 입자의 상호 작용 및 초기 조건을 악마에게 공급합니다.

두번째 단계

이제 입자의 가스를 모든 입자에 대해 악마에게 주어진 동일한 코드를 실행하는 컴퓨터 프로그램으로 모델링하여 가스가 초기 조건에서 결과를 계산하고 있기 때문에 악마는 그 결과가 멈출 때까지 그 결과를 알지 못합니다 ) : 즉, "적절한 속도의 입자가 문에 있습니다", 시스템에 묻고 싶은 결정은 "입자가 올바른 위치에 충분한 속도를 가지고 있습니까?"입니다. 그렇다면 문을 열 수 있습니다 빠른 입자는 새로운 초기 조건을 설정하여 실내의 고온으로 들어갈 수 있습니다 (연속적인 문제에 대한 답이 있습니까? 아니면 영원히 실행될 것입니까).

경계를 넘을만큼 충분한 속도를 가진 파티클이없는 시간이있을 것이므로, 주어진 임계 값에 대해 코드가 영원히 실행되는 시간이 있습니다.

Demon은 가스에 의해 계산 된 결과를 알고 싶어하지만 결과는 입자의 법칙의 소스 코드와 초기 조건에 잠재적으로 관련되어 있다는 의미입니다. 물론 우리는 그것을 이해하기 위해 해당 프로그램을 실행해야합니다. Demon이 출력에서 ​​올바른 속도를 기다리는 동일한 프로그램을 실행하면 프로그램이 중지되거나 영원히 실행될 수 있습니다 (그러나 우리는 악마가 가스보다 더 많은 계산 능력을 가지고 있지 않다고 가정하므로 제 시간에 문 오프닝).

데몬은 소스와 입력 을 실행하지 않고 시청하여 프로그램 출력을 파악하려고 시도 할 수 있습니다. 그러나 정지 문제를 해결하려는 것과 같은 이유는 무엇입니까? 악마는 어떤 법과 초기 조건이 공급 될지 알지 못 하기 때문에 모든 법과 초기 조건에 대해 해결할 준비가되어 있어야하며, 일반적으로 불가능하다는 것을 알고 있습니다. 무에서 에너지를 생성하기 위해 악마를 구축하기에 충분합니다. (법률과 초기 상태를 아는 것조차도 이미 충분히 알기 어렵다)

이 사고 실험 은 컴퓨터를 통해 엔트로피의 감소가 어떻게 일반적인 방식으로 결과를 예측하는 문제로서 어떤 방식으로 Halting Problem에 의해 제한 될 수 있는지를 연결시킬 수 있습니다 .

(때로는 모든 한계가 같은 한계 인 것 같습니다 ..)

입자 법칙에 대한 추가 정보

입자의 법칙은이 사고 실험의 주요 이슈가 아니며, 그 법칙은 양자 또는 고전적 일 수 있지만 법과 복잡성, 초기 조건의 복잡성, 입자 배열의 복잡성 등이 고려되어서는 안됩니다. 복잡성이 많이 추가되었습니다 (초기 조건의 극단적 인 예에서는 내부 소스 코드에 따라 전체 컴퓨터 발사 입자를 삽입하고 해당 코드를 데몬에 제공 할 수도 있음).

참으로 매우 매혹적인 질문이며, 우리는 당신의 생각이 올바른 것을 볼 것입니다 .

먼저 열역학의 두 번째 원리가 무엇을 말하는지 봅시다.

엔트로피 기능은 열역학 제 2 법칙에서 사용됩니다. 그것은 증기 기계에서 발생하는 공정의 효율이 상응하는 "가역적"기계 (150 년의 열역학에 걸쳐 불안정한 개념처럼 보인다)와 동일하거나 그보다 낮은 효율을 갖는다는 Carnot 's 정리에 기인한다. 카르노는 엔트로피 기능 자체를 만들지 않았지만 Clausius와 함께 다음과 같이 말합니다.

영속 기계가 없기 때문에 거시적 열역학 측정을 특정 방정식, 즉 S (V, T, P 등) = 0 으로 제한하는 엔트로피라는 함수 S를 만들 수 있습니다 .

이 방정식은 열역학 측정 공간에서 초 표면의 방정식 일뿐입니다.

Carathéodory에 들어갑니다.

Carathéodory는 독일의 수학자이며 모든 수학자와 마찬가지로 Carnot 's and Clausius에서 추출하여 두 번째 법칙이 실제로 무엇인지 명확히 할 수있는 공리를 추론 하려고합니다. 그는 엔트로피가 무엇인지 정확히 알기 위해 열역학을 정화하려고합니다.

일정한 수의 공리를 나열한 후, 그는 HIS 제 2 법칙을 공식화 할 수있게되는데, 그 법칙은 다음과 같습니다.

단열 과정이 있습니다. 또는 좀 더 독창적으로 돌아가고 싶다면 때로는 혼자 일하는 것만으로는 충분하지 않습니다. 약간의 열이 필요합니다.

이제는 Clausius의 공식과는 매우 다른 것 같습니다! 그러나 실제로는 그렇지 않습니다. Carathéodory는 2,000 년 동안 Euclide의 5 번째 공리로 연주하고 그 공리에 대해 여러 가지 다른 표현을했던 수학자들처럼 단어의 순서를 바꾸는 것이 었습니다. 물러나더라도 Carathéodory의 제 2 법칙에 놀라지 말아야합니다. 실제로 Carathéodory는 동일한 엔트로피 함수와 초 표면 방정식 S (V, T, P 등) = 0으로 이어집니다.

카르노 정리를 열심히 생각하십시오. 수학자로서 당신은 Carnot 's의 영구 기계가 존재하지 않는 방식에 너무 만족해서는 안됩니다. 실제로, 수학자로서 당신은 오히려 다음과 같은 것을 보게 될 것입니다 :

엔트로피 기능 S가 있으며, 영구 기계가없는 경우에만 거시적 인 측정을 제한합니다. "

이제 정리가 있습니다. 그리고 그것은 무엇을 말합니까? 무한한 양의 에너지를 생성하여 원하는 상태로 이끌 수있는 격리 된 기계 시스템 이 없다면 엔트로피 기능을 찾을 수 있습니다. 격리 기계 시스템은 단열 과정이다. 따라서 Carathéodory의 제제 : 단열 시스템은 어디에서나 당신을 이끌 수 없습니다. 때때로 당신은 약간의 열이 필요할 것입니다.

따라서 우리는 Carathéodory의 정확한 것이 아니라 그의 공식이 매우 간단하다는 것을 확신합니다.

이제 Carathéodory의 두 번째 법칙이 정지 문제와 비슷하다는 인상을 어디에서 얻습니까?

Carathéodory의 진술을 한 단계 물러서십시오. 모든 것이 당신이 어울리지 않는 고립 된 기계 시스템을 가지고 있다면, 당신은 원하는 어떤 상태에도 도달 할 수 없다는 것입니다.

중지 문제처럼 정확하게 들리지 않습니까? 즉, 이론의 모든 공리를 작성하고 가능한 모든 전이를 정리 한 후에는 해결할 수없는 문제가 있습니다. 때로는 공리를 더 추가해야 할 때가 있습니다.

실제로 Carathéodory의 공식을 깊이 이해하고 인코딩하려면 튜링 기계 대신 단열 공정에서 정지 문제와 동일한 코드가 발생하고 문제 대신 상태가됩니다.

어떻게 생각해?

참고 : 내 답변을 거의 완전히 편집 했으므로 아래 주석은 현재 포함 된 내용과 일치하지 않습니다.