가장 긴 두 경로마다 공통점이 하나 이상 있음을 증명

그래프 $G$ 가 연결되어 있고 길이가 보다 큰 경로가없는 경우 길이 의 $k$ 두 경로마다 공통점이 하나 이상 있음을 증명하십시오 . $G$ $k$

나는 공통 정점이 두 경로의 중간에 있어야한다고 생각합니다. 그렇지 않은 경우 길이 의 경로를 가질 수 있기 때문 $>k$ 입니다. 내가 맞아?

graph-theory graphs combinatorics

— 사우 라브
소스

정점

, 모서리

, 경로

및

에는 공통 정점이 없습니다.

A, B, C, D

$A,B,C,D$

A \to C

$A \to C$

A \to D

$A \to D$

B \to D

$B \to D$

A \to C

$A \to C$

B \to D

$B \to D$

— sdcvvc

@ sdcvvc, 답변으로 제공 할 수 있습니다.

@ sdcvvc 나는 질문이 무 방향 그래프로 제한되어 있다고 생각합니다.

— 라파엘

가 방향이없는 그래프 임을 확인 (또는 확인) 할 수 있습니까? 단순 (= 사이클 프리) 경로 만 고려 하고 있습니까?

G

$G$

— Gilles 'SO- 악한 중지'

@Gilles 그렇습니다. 그래프는 방향이 지정되지 않고 뚜렷한 가장자리와 정점이 포함 된 경로가 걸어갑니다.

— Saurabh

답변:

모순 것을 가정한다 $P_{1} = \langle v_{0},\ldots,v_{k}\rangle$ 및 $P_{2} = \langle u_{0},\ldots,u_{k}\rangle$ 두 경로이다 $G$ 길이의 $k$ 공유 된 꼭지점이.

마찬가지로 $G$ 접속되고, 경로가 $P'$ 접속 $v_{i}$ 에 $u_{j}$ 일부 $i,j \in [1,k]$ 되도록 $P'$ 주 아니 정점 $P_{1} \cup P_{2}$ 이외의 $v_{i}$ 및 $u_{j}$ . 말 $P' = \langle v_{i},x_{0},\ldots,x_{b},u_{j}\rangle$ (주있을 수 있음 없음 $x_{i}$ 버텍스, 즉 $b$ 일 수있다 $0$ - 표기법 비트 부족하지만이다). 없다

일반성을 잃지 않고 우리는 가정 할 수 $i,j \geq \lceil\frac{k}{2}\rceil$ (우리는 항상 번호 매기기를 반대로 할 수 있습니다). 그렇다면 우리가 구축 할 수있는 새로운 경로 $P^{*} = \langle v_{0},\ldots,v_{i},x_{1},\ldots,x_{b},u_{j},\ldots,u_{0}\rangle$ (함께 이동하여 $P_{1}$ 에 $v_{i}$ 다음 다리를 가로 질러 형성 하여 $P'$ 에 $u_{j}$ 다음 따라 $P_{2}$ 에 $u_{0}$ ).

분명히 $P^{*}$ 길이는 이상입니다. $k+1$ 이지만 $G$ 는 $k$ 보다 긴 길이의 경로가 없다는 가정과 모순 됩니다.

따라서 길이 $k$ 의 두 경로는 적어도 하나의 정점과 교차해야하며 추론에 따라 중간에 있어야한다는 관찰이 있습니다 (하나만있는 경우).

— 루크 매티 슨
소스

나는 당신이 가 필요하다고 생각합니다

j \leq ⌊ \frac{k}{2} ⌋

$j \leq \lfloor\frac{k}{2}\rfloor$

b = 0

$b=0$

b

$b$

0

$0$

P^{'}

$P'$

v_{i}

$v_{i}$

u_{j}

$u_{j}$

v_{0} \to v_{i} \to u_{j} \to u_{0}

$v_{0} \rightarrow v_{i} \rightarrow u_{j}\rightarrow \mathbf{u_{0}}$

j \geq ⌈ \frac{k}{2} ⌉

$j \geq \lceil\frac{k}{2}\rceil$

u_{k}

$u_{k}$ then

j \leq ⌊ \frac{k}{2} ⌋

$j \leq \lfloor\frac{k}{2}\rfloor$ 올바른 조건이 될 것입니다.

— Luke Mathieson

공통 정점은 두 경로의 중간에 있어야합니다.

그러나 직관은 해결하려는 실제 문제를 해결하지 못합니다.

대신 경로의 특정 지점에서 원래 경로의 끝점 중 하나를 가리키는 경로 세그먼트가 전체 경로의 절반보다 많은 노드를 가져야한다는 것을 보여주십시오.

당신이 그것을 보여 주면, 당신은 당신이 요청한 문제를 해결하고 추측을 검증 할 수 있습니다.

— btilly
소스