자연수 선형 시스템을 해결하기 위해 어떤 알고리즘이 있습니까?

다음 문제를보고 있습니다.

주어진 $n$차원 자연수들의 벡터 일부 입력 벡터 이며, 의 선형 조합 '자연수 계수 s에서?$v_1, \ldots, v_m$$u$$u$$v_i$

즉 이 있습니까? 여기서 ?$t_1, \ldots, t_m \in \mathbb{N}$$u = t_1 v_1 + \dots + t_m v_m$

이 문제의 실수 버전은 가우시안 제거를 사용하여 해결할 수 있습니다. 궁금합니다.이 문제의 정수 버전을 연구 했습니까? 그것을 해결하기 위해 어떤 알고리즘이 있습니까?

이것은 자연수를 사용하지만 모듈 식 산술을 사용하지 않으므로, 이것은 중국의 나머지 이론 및 이와 유사한 시스템과는 다소 별개입니다. 또한 Diophantine 방정식과 관련이있는 것 같지만 음수가 아닌 정수 만 고려되는 경우 어떻게되었는지 궁금합니다. 이것은 또한 각 벡터의 임의의 수의 사본을 취할 수 있도록 일반화 된 다차원 부분 집합 합 문제를 연상시킵니다. 또한 가 의해 생성 된 격자 의 요소 인지 여부를 테스트하는 것과 관련이 있습니다 , 음수가 아닌 계수의 선형 조합 만 허용합니다.$u$$v_1,\dots,v_m$

관심있는 사람은 Parikh Theorem 에서와 같이 Parikh 벡터가 선형 세트인지 여부를 확인하여 동기를 부여합니다 .

특히, 실수 / 부동 소수점 수로 들어 가지 않고 자연수 연산 만 사용하여 문제를 해결할 수있는 알고리즘에 관심이 있습니다.

문제는 부분 집합 합계를 줄임으로써 NP가 완전합니다 (모든 것이 음수가 아니기 때문에 용액의 계수가 충분히 계수되기 때문에 NP에 있습니다). 주어진 인스턴스$S = \{s_1,\ldots,s_n\}, T$ 하위 집합 합계의 하위 집합이 있습니까? $S$ 합산 $T$?), 우리는 인스턴스를 구성 $v_1,\ldots,v_{2n},u$다음과 같이 문제의. 각각$1 \leq i \leq n$우리는 넣어 $v_i$ 두 개의 0이 아닌 항목이있는 벡터가됩니다. $v_{i,i} = 1$ 과 $v_{i,n+1} = s_i$, $v_{n+i}$ 0이 아닌 고유 항목을 가진 벡터 $v_{n+i,i} = 1$. 목표 벡터는$u=1,\ldots,1,T$. 각 자연 조합$v_1,\ldots,v_{2n}$ 동일 $1,\ldots,1,\ast$ 각각의 하나를 정확히 선택해야합니다 $v_i,v_{n+i}$따라서 하위 집합을 인코딩합니다. $S$ 그 합은 마지막 구성 요소의 값입니다.