4 면체가 다면체 안에 있는지 테스트

나는이 사면체 과 다면체 . 는 항상 모든 정점을 와 공유하도록 제한 됩니다. 나는 여부를 확인하려면 거짓말 내부 .$t$ t P $p$$t$$p$$t$ $p$

나는 그것이 솔루션에 기여할 수있는 경우에 문제가 하나 개의 세부 사항을 추가하고 싶습니다 : A는 델 로니 사면체와의 얼굴 삼각형이고 있습니다 들로네 강하게 모두의 정점에 대한 . 사면체는 들로네 경우 circumsphere 의 정점은 그 안에 다른 정점을 포함하지 않는다. 표면에 표면의 정점이 포함 되어 있지만 그 내부 또는 내부 에 다른 정점이없는 경우에는 면이 강력 합니다.$t$$p$$p$

다음 그림은 공간 에서 동일한 문제를 보여줍니다 . $2D$

원래 다각형$p$ :

의 정점의 들로네 삼각$p$ :

삼각형 대한 내부 / 외부 테스트 결과$t$ (음영 된 삼각형은 안에 있고 나머지는 바깥에 있습니다 ) :$p$

원하는 결과 ( 삼각형 외부 잘라 내기 ) :

내 원래 문제는 3D 공간에 있으므로 위 그림의 삼각형 는 4 면체로, 다각형 는 임의의 다면체 변환됩니다 . 나는이 문제의 몇 가지 공식을 알아 냈습니다.$t$$p$$p$

제제 1 외부에있을 수있는
의 유일한 부분 은 그 모서리 및 삼각형면이지만, 일반적으로 표면 상에 모든 외부 의 모서리를 갖는 가 존재할 수 있으므로, 대안 적으로이 문제는 다음과 같이 공식화 될 수있다. 시험 A가 사면체에 대한 여부를 거짓말 얼굴이 존재 바깥 ?p p t t $t$$p$$p$ $t$$t$ $p$

공식 2
나는이 문제에 대한 또 다른 가능한 관점을 가지고 있지만 공식적인 아이디어가 없습니다 :
기하학적으로, 가 바깥에 있으면 항상 의 바깥 표면에 붙어 있을 것 입니다. 우리는 계산할 수 있습니다 그렇다면 윤곽을 (비공식적으로, 외부 경계) 및 그런 와 정점의 수 있습니다 세트 이면 iff 는 안에 있습니다 . p C V C V p V = V t ∪ V p V t , V p t , p C V = C V p t $t$$p$$C_{V}$$C_{V_{p}}$$V=V_{t}\cup V_{p}$$V_t,V_p$$t,p$$C_{V}=C_{V_p}$ $t$$p$

나는 알고 싶다:

• 공식 1 또는 공식 2를 어떻게 해결할 수 있습니까?
• 아니면이를 해결하기위한 완전히 다른 접근법이 있습니까?

업데이트 :
이제이 문제가 다면체 문제의 지점 으로 줄어들 수 있음을 알고 있습니다. 때문에 외부 사면체 것이다 적어도 밖에있는 하나의 얼굴 항상 존재할 것이다 (일반적으로 그 정점을 제외한) 그면상의 임의의 점 있도록 바깥 . 따라서 의 에 대해 임의의 점을 취하고 그 점이 밖에 있는지 테스트해야합니다 .p p t $t$$p$ $p$$t$ $p$

에서 다각형의 점 기사 나에 대해 알게 된 알고리즘을 캐스팅 레이 와 숫자 알고리즘을 권선 . p 의 표면에 점이있는 경우에는 광선 주조가 수치 적으로 안정적 이지 않습니다 . 그러나 권선 수 알고리즘의 수치 적 견고성에 대해서는 다루지 않았습니다. $p$

위의 내용을 바탕으로 내 핵심 문제는 이제 다음과 같습니다 (별도의 질문으로 제안해야 함). 다각형 문제의 점에
대해 수치 적으로 강력한 알고리즘이 있습니까?

나는 최근 Alec Jacobson 등의 논문 '일반화 된 권선 번호를 사용하는 강력한 내부-외부 세그먼테이션'에서이 문제에 대한 해결책을 찾았 습니다 . 점이 일반 권선 번호 의 개념을 사용하여 임의의 (자기 교차, 비 매니 폴드, 개방 표면 등을 가진) 다각형 메쉬의 내부 (또는 외부)에 위치하는 문제를 해결합니다 .

$t$$p$