튜링 완성형 람다 미적분학이 있습니까?

Turing complete typed lambda calculi가 있습니까? 그렇다면 몇 가지 예는 무엇입니까?

물론이지. 많은 유형의 람다 미적분학 은 설계 상 강력하게 정규화 된 항만 받아들이 므로 임의 계산을 표현할 수 없습니다. 그러나 타입 시스템은 원하는 것이 될 수 있습니다. 충분히 넓게 만들고 모든 결정 론적 계산을 표현할 수 있습니다.

람다 미적분의 Turing-complete 조각을 포함하는 사소한 유형 시스템은 모든 유형을 잘 입력 된 유형 ( 상단 유형 ) 으로 받아들이는 시스템 입니다.

$$\dfrac{}{\Gamma \vdash M : \top}$$

보다 실질적으로, 정적으로 유형화 된 함수형 프로그래밍 언어는 그 중심에 유형이 지정된 람다 미적분을 가지고있어 수정 점 조합기 를 잘 유형화 할 수 있습니다. 예를 들어, 간단하게 입력 된 람다 미적분 (또는 ML 유형 시스템 또는 시스템 F 또는 선택한 다른 유형 시스템)으로 시작하여 와 같은 고정 소수점 조합을 만드는 규칙을 추가하십시오 잘 입력되었습니다. 위에 제시된 규칙은 다음과 같은 용어를 만들기 때문에 다소 어색합니다.$\mathbf{Y} = \lambda f. (\lambda x. f (x\,x)) (\lambda x. f (x\,x))$

$$\dfrac{\Gamma \vdash f : T \rightarrow T} {\Gamma \vdash \mathbf{Y}\,f : T} \qquad \dfrac{\Gamma \vdash f : T \rightarrow T} {\Gamma \vdash (\lambda x. f (x\,x)) (\lambda x. f (x\,x)) : T}$$ $\mathbf{Y}\,f$ 구성 요소의 형식이 잘못되었지만 형식이 정교하지는 않습니다. 간단한 수정 사항은 언어 상수로 수정 ​​점 결합자를 추가하고 델타 규칙을 제공하는 것입니다. 그러면 형식 보존을 가진 형식 시스템과 축소 의미 체계를 갖는 것이 간단한 문제 입니다. 순수한 람다 미적분에서 상수를 가진 람다 미적분의 영역으로 빠져 나옵니다. $$\begin{gather*} \dfrac{}{\Gamma \vdash \textbf{fix} : (T \rightarrow T) \rightarrow T} \\ \textbf{fix}\,f \to f (\textbf{fix}\,f) \\ \end{gather*}$$

순수한 람다 미적분을 고수하는 흥미로운 유형 시스템은 교차로 유형을 가진 람다 미적분학입니다.

$$\dfrac{\Gamma \vdash M : T_1 \quad \Gamma \vdash M : T_2} {\Gamma \vdash M : T_1 \wedge T_2} (\wedge I) \qquad\qquad \dfrac{} {\Gamma \vdash M : \top} (\top I)$$

교차점 유형에는 정규화와 관련하여 흥미로운 속성이 있습니다.

• 람다 용어 는 강력하게 정규화되는 경우 규칙 을 사용하지 않고 입력 할 수 있습니다 .$\top I$
• 람다 용어는 포함하지 않는 유형을 허용합니다 .$\top$

교차로 유형에 왜 이렇게 넓은 범위가 있는지에 대한 통찰력을 얻으려면 통합 유형 이있는 람다 용어 특성화를 참조하십시오 .

따라서 튜링 완료 언어를 정의하는 유형 시스템 (모든 용어가 올바르게 입력되었으므로)과 종료 계산의 간단한 특성이 있습니다. 물론,이 타입 시스템은 정규화를 특징 짓기 때문에 결정될 수 없습니다.

_{규칙 이름 및 : 공식적인 의미는 없지만 의도적으로 선택됩니다. 이러한 도입 규칙이기 때문에, "소개"의 약자 - 그들은 기호 (소개 또는 선 아래의 형식으로). 이중으로, 기호가 선 위에 있지만 아래에 나타나지 않으면 제거 규칙이 있습니다. 예를 들어, 단순 유형의 람다 미적분학에서 람다 식의 유형 검사 규칙은 대한 도입 규칙 이고 응용 프로그램의 유형 검사 규칙은 대한 제거 규칙입니다 . $(\top I)$$(\wedge I)$$I$$\wedge$$\top$$\rightarrow$$\rightarrow$}