알고리즘에 입력 되는 대수

알고리즘에 대한 입력으로 대수를 제공한다는 의미를 지정하고 그것에 대해 많은 문헌을 찾지 못했습니다. 따라서 먼저 필드에 대한 대수의 복잡성 분석 주제를 다루고 의사 결정 문제를 명확하게 정의 하는 책이나 논문을 추천 할 수 있는지 묻고 싶습니다 .

파고 난 후에 뭔가를 발견 하고 여기에서 공유하고 더 나아가 정의가 의미가 있고 문헌을 준수하는지 묻습니다 (있는 경우).

정의 : 하자 필드 수와 유한으로 생성 교환 법칙이 성립 될 -algebra와 첨가제 기준 . 이제 대수의 곱셈 구조를 캡처하고 모든 기본 요소의 모든 곱을 모든 기본 요소의 선형 조합으로 씁니다. 불리는 구조 계수 . 우리는 직접 그 있습니다 $\mathbb F$$A$$\mathbb F$$b_1,\ldots, b_n\in\mathbb F$

$$\forall 1\leq i, j, k\leq n: \exists a_{ijk}: b_ib_j=\sum_{k=1}^n a_{ijk}b_k.$$ $a_{ijk}$ $$A \cong \left.\mathbb{F}[b_1, \ldots, b_n] \middle/ \left<b_i b_j-\sum_{k=1}^n a_{ijk}b_k\right>_{1\leq i,j\leq n}\right..$$ 이제 다음 결정 문제를 정의 할 수 있습니다 : $$\{(A,B)\mid A, B \text{ commutative $\mathbb F$-algebras with basis $b_1, \ldots b_n$ and } A\cong B\}.$$ 동 형사상 \ phi : A \ rightarrow B 를 지정하려면 $\phi:A\rightarrow B$모든 $\phi(b_i)$ 를 B 의 기본 요소의 선형 조합으로 쓰면 충분합니다 $B$.

이 정의의 어떤 것이 당신에게 이상해 보이거나 그것을 사용할 수 있다고 생각합니까?

동기 부여 : 이 뒤에 내 동기 즉, 다항식 동등성을 결정하는 문제는, 첫째 다른 문제에 연결하기 위해 의사 결정 문제의 아주 명확한 정의를 제공하는 것입니다 : 두 개의 다항식을 감안할 때 , 우리가 말할 이다 등가 로 가역 선형 변환이 존재하는 경우 변수 온되도록 . 다시 말해, 모든 변수를 모든 변수의 선형 조합으로 대체하여 다른 다항식을 얻을 수 있다면 두 개의 다항식은 동일합니다.$f,g\in\mathbb F[x_1, \ldots, x_n]$$f$$g$$\tau$$f(\tau(x_1), \ldots, \tau(x_n))=g(x_1, \ldots, x_n)$

이것이 동기 부여로 도움이되는지 확실하지 않지만이 문제의 연결은 다항식이 동등한 경우에만 동형 인 두 개의 다항식에서 유한하게 생성 된 정류 대수를 구성하여 설정됩니다. 이를 위해 의사 결정 문제를 매우 명확하게 정의하고 싶었습니다.$\mathbb F$

이 프레젠테이션과 일치하는 것 같다 의 동등성 -algebras와 큐빅 형태$\mathbb{F}$ , 아그라 왈 및 Saxena는 (2006) .

수학적 구조에 대한 계산 능력은 길고 잘 확립 된 연구 분야입니다. 예를 들어, 다음을 참조하십시오.

• Edward R. Griffor, " 계산 이론 핸드북 ", 1999

• Leonidovich Ershov, " 재귀 수학 핸드북 : 재귀 대수, 분석 및 조합 ", 1998

또는 Google의 경우 :

• 계산 대수
• 계산 가능한 모델 이론