Karp Reduction은 Levin Reduction과 동일합니까?

정의 : Karp Reduction

언어 $A$ 언어로 카프의 환원성 인 $B$ 다항식 시간 계산 가능한 기능이 있는지 $f:\{0,1\}^*\rightarrow\{0,1\}^*$ 되도록 모든 대 $x$ , $x\in A$ 경우에만, $f(x)\in B$ .

정의 : 레빈 감소

검색 문제 $V_A$ 레빈 검색 문제에 환원 인 $V_B$ 다항식 시간 함수가있는 경우 $f$ 카프가 감소 시킨다는 $L(V_A)$ 에 $L(V_B)$ 와 다항식 시간 계산 가능 함수의 존재 $g$ 및 $h$ 그러한

$\langle x, y \rangle \in V_A \implies \langle f(x), g(x,y) \rangle \in V_B$ ,
$\langle f(x), z \rangle \in V_B \implies \langle x, h(x,z) \rangle \in V_A$

이러한 감축은 동등합니까?

두 정의가 동일하다고 생각합니다. 어떤 두 언어 및 경우, 카프의 환원성는이고 후, 로 환원성 레빈 인 . $\mathsf{NP}$ $A$ $B$ $A$ $B$ $A$ $B$

내 증거는 다음과 같습니다.

하자 및 임의의 인스턴스가 하면서 의 수 . 와 가 와 검증 자라고 가정하십시오 . 하자 하고 임의의 인증 될 및 에 따른 . 에 따라 를 라고 합시다 . $x$ $\overline{x}$ $A$ $x'$ $B$ $V_A$ $V_B$ $A$ $B$ $y$ $\overline{y}$ $x$ $\overline{x}$ $V_A$ $z$ $x'$ $V_B$

새로운 구조체 검증기 및 새로운 인증서와 와 : $V'_A$ $V'_B$ $y'$ $z'$

$V'_A(x,y'):$

:하면 , 거절. 그렇지 않으면 합니다. $y'=\langle 0,\overline{x},\overline{y}\rangle$ $f(x)\ne f(\overline{x})$ $V_A(\overline{x},\overline{y})$
: 출력 . $y'=\langle 1,z\rangle$ $V_B(f(x),z)$

$V'_B(x',z'):$

: 출력 . $z'=\langle 0,z\rangle$ $V_B(x',z)$
: 경우 , 거절. 그렇지 않으면 출력합니다. $z'=\langle 1,x,y\rangle$ $x'\ne f(x)$ $V_A(x,y)$

다항식 시간 계산 함수 및 는 다음과 같이 정의됩니다. $g$ $h$

$g(x,y')$

: 출력 . $y'=\langle 0,\overline{x},\overline{y}\rangle$ $\langle 1,\overline{x},\overline{y}\rangle$
: 출력 . $y'=\langle 1,z\rangle$ $\langle 0,z\rangle$

$h(x',z')$

: 출력 . $z'=\langle 0,z\rangle$ $\langle 1,z\rangle$
: 출력 . $z'=\langle 1,x,y\rangle$ $\langle 0,x,y\rangle$

하자 모든 인증서들의 집합 에 따른 및 의 모든 인증서들의 집합 에있어서 . 그러면 모든 인증서 집합 에 따른 이고 이되도록 $Y_x$ $x$ $V_A$ $Z_{x'}$ $x'$ $V_B$ $x$ $V'_A$ $0\overline{x}Y_\overline{x}+1Z_{f(x)}$ $f(x)=f(\overline{x})$ 그리고 모든 인증서 집합 에 따른 인 되도록 . $x'$ $V'_B$ $0Z_{x'}+1\overline{x}Y_\overline{x}$ $x'=f(\overline{x})$

(이것은 수용성의 언어에서 유래 및 ). $V'_A$ $V'_B$

이제 하자 나머지 부분은 쉽게 확인할 수 있습니다. $x'=f(x)$

complexity-theory reductions check-my-proof

— cc
소스

귀하의 주장을 입증하기 전에, 언어가 다른 언어로 번역 될 수 있다는 의미를 정의해야합니다.

— 이토 츠요시

답변:

첫째, 레빈 축소는 인증서가 의미를 갖는 클래스 (예를 들어 , 카르 프 감소가 일반적이지만 대해서만 의미 가 있습니다. 문제에 대한 "인증서"라는 단어는 검증자가 수정 된 경우에만 의미가 있습니다. Levin의 축소는 검증자가 고정 된 것으로 가정합니다. 검증기를 변경할 수 없습니다. (다음에서는 Levin 축소의 정의에 따라 인증서 검증자가 고정되어 있다고 가정합니다.) $\mathsf{NP}$

둘째, Levin 축소는 하나의 인증서에서 다른 인증서를 찾을 수 있음을 의미합니다. 자연 문제 사이에서 잘 알려진 Karp 감소가 Levin 감소로 밝혀지는 것은 사실이지만 이것은 일반적으로 사실 일 필요는 없습니다.

문제 인스턴스 를 문제 줄일 수 있다고해서 하나의 인증서에서 다른 인증서를 계산할 수있는 것은 아닙니다. $A$ $B$

이것이 사실이 되려면 의사 결정 문제에 해당하는 인증서 검색 문제가 의사 결정 문제에 대한 다항식 시간이라는 사실이 필요합니다. 이는 마찬가지이다 문제가 있지만, 일반적에도 마찬가지 알려져 있지 문제. $\mathsf{NP\text{-}complete}$ $\mathsf{NP}$

— 카베
소스

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

N P

$NP$

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

N P

$NP$

M_{1}

$M_1$

M_{2}

$M_2$

x \in L_{1}

$x\in L_1$

Y_{x}

$Y_x$

T M_{1}

$TM_1$

Z_{x^{'}}

$Z_{x'}$

x^{'} \in L_{2}

$x'\in L_2$

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

f

$f$ 정의 된대로.

— cc

M_{1}^{'}

$M_1'$

M_{2}^{'}

$M_2'$

x \in L_{1}

$x\in L_1$

0 Y_{x} + 1 Z_{f (x)}

$0Y_x+1Z_{f(x)}$

f (x) \in L_{2}

$f(x)\in L_2$

0 Z_{f (x)} + 1 x Y_{x}

$0Z_{f(x)}+1xY_x$

M_{1}^{'}

$M_1'$

M_{2}^{'}

$M_2'$

g

$g$

h

$h$

x^{'} \in L_{2}

$x'\in L_2$

x \in L_{1}

$x\in L_1$

x^{'} = f (x)

$x'=f(x)$

@cc, 여전히 검증자를 변경할 수 있다고 생각하는 것 같습니다. 레빈 축소의 정의는 검색 문제에 대한 것입니다. 즉 검증자가 고정되어 있습니다.

— Kaveh

$x_1, x_2 \in L_1$ $f(x_1) = f(x_2) \in L_2$ $w$ $x_1$ $x_2$

$M_1'(x_1,\langle 0,w \rangle)= M_1(x_1,w)=1$

$M_1'(x_2,\langle 0,w \rangle)= M_1(x_2,w)=0$

$g(x_1,\langle 0,w \rangle) = \langle 1,x_1,w \rangle$

$f(x_1)=f(x_2)$ $M'_2(f(x_2),\langle 1,x_1, w \rangle)) = M_1(x_1,w) = 1$ $\langle 1,x_1, w \rangle$ $f(x_2)$ 그러나

$h(f(x_2), \langle 1,x_1, w \rangle) = \langle 0, w \rangle$ $x_2$

— 보어
소스

반례를 지적 해 주셔서 대단히 감사합니다. 나는 구조를 수정했으며 지금은 효과가 있다고 생각합니다. 좀 봐 주시겠습니까?

— cc