이진 트리의 평균 높이는 얼마입니까?

이진 트리의 평균 높이에 대한 공식적인 정의가 있습니까?

다음 두 가지 방법을 사용하여 이진 트리의 평균 높이를 찾는 방법에 대한 자습서 질문이 있습니다.

1. 자연적인 해결책은 가능한 모든 경로의 평균 길이를 뿌리에서 잎으로 가져 오는 것입니다.

   $\qquad \displaystyle \operatorname{avh}_1(T) = \frac{1}{\text{# leaves in } T} \cdot \sum_{v \text{ leaf of } T} \operatorname{depth}(v)$ .

2. 또 다른 옵션은 재귀 적으로 정의하는 것입니다. 즉, 노드의 평균 높이는 하위 트리의 평균 높이에 1을 더한 평균입니다.

   $\qquad \displaystyle \operatorname{avh}_2(N(l,r)) = \frac{\operatorname{avh}_2(l) + \operatorname{avh}_2(r)}{2} + 1$

   함께 리프를위한 및 빈 슬롯.l avh 2 ( _ ) = $\operatorname{avh}_2(l) = 1$$l$$\operatorname{avh}_2(\_) = 0$

내 현재 이해, 예를 들어 나무의 평균 높이$T$

    1    
   / \
  2   3
 /
4

재귀를 사용하는 두 번째 방법 으로 입니다.$\operatorname{avh}_2(T) = 1.25$

그러나 여전히 첫 번째 방법을 이해하지 못합니다. 가 올바르지 않습니다.$\operatorname{avh}_1(T) = (1+2)/2=1.5$

두 정의가 모두 동일한 측정 값을 설명한다고 믿을 이유가 없습니다. 재귀 적으로 쓸 수도 있습니다.$\operatorname{avh}_1$

$\qquad \displaystyle \operatorname{avh}_1(N(l,r)) = \frac{\operatorname{lv}(l)(\operatorname{avh_1}(l) + 1) + \operatorname{lv}(r)(\operatorname{avh_1}(r) + 1)}{\operatorname{lv}(l) + \operatorname{lv}(r)}$

와 잎에 대한 . 이것이 동일하지 않다면 오른쪽에있는 의 정의를 거나 유도 증명을 수행하십시오.l avh $\operatorname{avh}_1(l) = 0$$l$$\operatorname{avh}_1$

이제 은 과는 매우 다르게 작동합니다 . 하지만 노드 아이들의 재귀 높이 무게 동등하게 (추가, 2로 나누어), 가 포함 잎의 수에 따라 그 무게. 그래서 그들은 잎 균형 나무에 대해 동일합니다 (앵커 모듈러스). 이는 형제 나무가 똑같이 많은 잎을 가지고 있다는 의미에서 균형을 이룹니다. 당신의 재귀 형태로 단순화 경우 과 이 즉시 알 수있다. 그러나 균형이 맞지 않는 나무에서는 다릅니다.avh 2 avh 2 avh 1 avh 1 lv ( l ) = lv ( r $\operatorname{avh}_1$$\operatorname{avh}_2$$\operatorname{avh}_2$$\operatorname{avh}_1$$\operatorname{avh}_1$$\operatorname{lv}(l) = \operatorname{lv}(r)$

당신의 계산은 실제로 정확합니다 (정의를 받았습니다). 예제 트리는 잎 균형이 없습니다.

편집 : Jeffe는 위의 의견에서 좋은 지적을합니다. 다음 답변에서 "정확한 대 부정확 한"을 "편의 / 일관된 대 일관성 없음"으로 읽어야합니다.

두 번째 계산이 잘못된 것 같습니다. 단일 노드 (예 : 리프)가있는 하위 트리의 높이를 0으로 설정합니다. 그런 다음 하위 트리 루트의 높이는 다음과 같습니다.

• 4의 높이는 0입니다
• 3의 높이는 0입니다
• 2의 높이는 3 + 1 = 0 + 1 = 1의 평균 높이입니다.
• 1에서의 높이는 2에서의 평균 높이이며 3 = (0 + 1) / 2 + 1 = 1.5

첫 번째 계산을 올바르게하고 있다고 생각하며 1.5가 정답입니다.