NP- 완전 문제에서 한계 PCP로 다항식 감소

어느 곳에서나 교과서는 경계 포스트 대응 문제 가 NP- 완전 이라고 가정합니다 ( 반복에 $N$ 인덱스 만 허용). 그러나 다른 NP- 완전 문제에서 간단한 (다소의 학자가 이해할 수있는) 다항식 시간 단축을 보여주는 곳은 어디에도 없습니다.

그러나 내가 생각할 수있는 모든 축소 는 런타임에 지수 ( $N$ 또는 시리즈 크기)입니다. 아마도 SAT로 환원 가능하다는 것을 알 수 있습니까?

NP 감소의 경우와 마찬가지로 비슷한 문제 를 찾는 것이 좋습니다 . 특히, "일부 노드를 보았습니다"와 같은 전역 조건을 PCP (다수로 많은 타일 포함)로 인코딩하기는 어렵습니다. 곧. 따라서 로컬 제한 만있는 문자열 문제가 가장 효과적 일 수 있습니다.

가장 짧은 공통 슈퍼 시퀀스 문제 의 결정 버전을 고려하십시오 .

두 개의 문자열을 감안할 때 , B ∈ Σ + 와 | | = n 과 | b | = m 및 K ∈ N은 , 문자열이 있는지의 여부를 결정 (C) ∈ Σ + 와 | c | ≤ k 이므로 a 와 b 는 c 의 서브 시퀀스입니다 .$a,b \in \Sigma^+$$|a|=n$$|b|=m$$k \in \mathbb{N}$$c \in \Sigma^+$$|c| \leq k$$a$$b$$c$

이 아이디어는 PCP 가 왼쪽에서 오른쪽 으로 와 b의 수퍼 시퀀스를 만들도록 함으로써 타일의 겹침으로 인코딩하는 위치는 각각 a 와 b 에 있습니다. c의 심볼 당 하나의 타일을 사용 하므로 k 는 BPCP의 경계에 해당합니다. ≤ k 타일 로이 PCP를 해결할 수 있으면 동일한 길이의 공통 슈퍼 시퀀스를 읽을 수 있으며 그 반대도 마찬가지입니다.$a$$b$$a$$b$$c$$k$$\leq k$

타일의 구조는 약간 지루하지만 명확합니다. 또는 b를 전달하지 않는 타일은 만들지 않습니다 . 그런 것은 결코 가장 짧은 공통 수퍼 시퀀스의 일부일 수 없으므로 불필요합니다. 이들은 감소 특성을 손상시키지 않고 쉽게 추가 될 수 있습니다.$a$$b$

오버랩의 숫자는 이진수로 인코딩되지만 외부의 기호를 사용하여 공통 길이 log max ( m , n )로 채 웁니다 . 따라서 타일이 그래픽에서 제안한대로 (테트리스), 문자와 인덱스 인코딩 겹침이 혼합되지 않도록합니다 (PCP는이를 방지하지 않습니다). 우리는 필요합니다 :$\Sigma$$\log \max(m,n)$

• 타일 ​​시작 : 가 a 1 , b 1 또는 둘 다 같으면 시작할 수 있습니다 .$c$$a_1$$b_1$
• 중간 타일 : 는 다음 기호가 a , b 또는 둘 다 같으면 진행할 수 있습니다 .$c$$a$$b$
• 타일 종료 : 마지막 심볼로 끝남 (마지막 일 경우 B는 유사한 이미 알 된) B , 또는 양자의 마지막 심볼로.$c$$a$$b$$b$

이들은 타일 회로도입니다. 중간 타일은 모든 쌍 대해 인스턴스화해야합니다 . 위에서 언급했듯이 a 와 b 의 각 문자가 일치 하는 경우에만 *를 사용 하지 않고 타일을 만듭니다 .$(i,j) \in [n]\times [m]$$*$$a$$b$

^{[ 출처 ]}

"상관 없어"에 대한 상징이다; 실제 타일에서는 다른 심볼을 복사해야합니다. 타일 ​​수는 Θ ( m n ) 이고 각 타일의 길이는 4 log max ( m , n ) + 1 이므로, 구성된 BPCP 인스턴스 (알파벳 Σ ∪ { 0 , 1 $*$$\Theta(mn)$$4\log \max(m,n) + 1$$\Sigma \cup \{0,1\}$더하기 분리 기호)는 다항식 크기를 갖습니다. 또한 모든 타일의 구성은 다항식 시간에 명확하게 가능합니다. 따라서 제안 된 축소는 실제로 유효 다항식 변환으로 BPCP에 대한 NP- 완료 최단 공통 수퍼 시퀀스 문제를 줄입니다.

BPCP가 결정 불가능 성을 입증하는 데 사용 된 것과 유사한 축소를 사용하여 NP- 완료임을 증명할 수 있다고 생각합니다. 우리는 다항식 시간에 NP의 문제를 줄이는 방법을 보여줌으로써 BPCP가 NP- 완전하다는 것을 직접 증명할 것입니다.

PCP가 결정 불가능하다는 것을 증명하는 데 사용 된 표준 축소 ( 여기에서 스케치 됨 )는 일련의 타일을 구축 하여 문자열 w 에 주어진 TM 의 수락 계산이있는 경우 PCP 솔루션이 작동함으로써 작동합니다 . 이 축소에서 생성 된 타일 수는 폴리 노 미적으로 큽니다. 특히 구성된 도미노 수는 테이프 알파벳의 크기와 TM의 상태 수의 일부 기능입니다. 보유 크기가 클 수있다 초기 도미노 유일한 도미노, $M$$w$$w$그것에 쓰여진. 결정적 TM에 대한 작업에서 비 결정적 TM에 대한 작업으로 이러한 축소를 일반화하면 전환 수가 유한하기 때문에 최대 일정한 수의 도미노를 도입합니다. 결과적으로, 우리는 다항식 시간의 정상적인 결정 불가능한 감소를 위해 표준 도미노 세트를 구성 할 수 있습니다.

이를 고려하면 NP 문제를 고려하여 다음과 같이 NP 문제를 BPCP로 줄일 수 있습니다. NP 문제 에는 시간 p ( n ) 에서 실행되는 다항식 시간 NTM 이 있습니다. 그런 다음 다항식 시간으로이 문제를 다항식 시간으로 BPCP로 줄일 수 있습니다. M 에서 표준 도미노 세트를 구성한 다음 f ( p ( n ) ) 도미노 를 사용하는 솔루션이 있는지 묻습니다 . 여기서 f 는 존재에 대한 해결책에 필요한 도미노의 수 (이 아마 같은 것입니다 N $M$$p(n)$$M$$f(p(n))$$f$$n^2$, 그리고 확실히 지수가 아닙니다). 그런 다음 PCP가 결정 불가능한 것을 표시 할 때 사용하는 증명서를 사용하여, 최대 사용이 BPCP 인스턴스에 대한 솔루션이 있음을 입증 할 수있는 일본어 NTM IFF 타일 M은 허용 m을 내 P ( N을 ) 단계. 따라서 NP의 모든 문제에서 BPCP로 다항식 시간이 단축되므로 BPCP는 NP-hard입니다.$f(p(n))$$M$$m$$p(n)$

(또한 BPCP가 NP에 있음을 보여 주어야하지만 쉽지만, 순서를 정할 도미노를 비 결정적으로 추측 한 다음 결정적으로 확인하면됩니다).

도움이 되었기를 바랍니다!