정수의 큰 거듭 제곱의 비트 수 계산

이진 표현에서 두 개의 정수 와 주어지면 의 비트 크기를 계산하는 복잡성은 무엇 입니까?N X $x$$n$$x^n$

이를 수행하는 한 가지 방법은 충분한 정밀도 로 의 근사값 을 계산하여 를 계산하는 것 입니다. 이 나타나 컴퓨팅 와 의 정밀도의 비트가 수행 될 수 길이의 두 정수의 곱을 계산하는 데 필요한 시간이다 . 수율이 복잡성 (특히 간단한 생략) 알고리즘은 대략 만약 둘 다를의 비트 크기에 결합 된 및 (I 더 실수를하지 않는 경우).log 2 ( x ) log 2 ( x ) k O ( M ( k ) log k ) M ( k ) k O ( s log 2 S ) S (X)의 $1+\lfloor \log_2(x^n)\rfloor=1+\lfloor n\log_2(x)\rfloor$$\log_2(x)$$\log_2(x)$$k$$O(M(k)\log k)$$M(k)$$k$$O(s\log^2 s)$$s$$x$$n$

우리는 이길 수 있습니까? 여기서 는 와 의 크기입니다 (크기가 비슷한 경우)? 이보다 복잡하거나 더 나은 간단한 알고리즘이 있습니까?의 X에 $O(s\log^2(s))$$s$$x$$n$

참고 : Turing machine과 같은 이론적 모델의 복잡성에 관심이 있습니다.

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두 번째 질문에 대한 대답은 ' 아니요'입니다 .

제안. 컴퓨팅 정밀도까지 K 것은 어려운 등 최소한의 비트 크기 계산 같다 X 2 케이 .$\log(x)$$k$$x^{2^k}$

증명. 하자 정수 y 의 비트 크기를 나타냅니다 . 먼저 통보 음이 아닌 정수 동안 그 Y 의 비트 크기 , Y가 인 1 + ⌊ 로그 Y ⌋ .$|y|$$y$$y$$y$$1+\lfloor \log y\rfloor$

따라서 . 이제 2 k log ( x ) 는 log ( x ) k 위치를 왼쪽 으로 이동 합니다. 따라서 하나 계산할 수 로그 ( X ) 정밀도에 K를 단순히 뺌으로써 제 1 의 비트 크기 (X) 2 K 와 결과 시프트 케이 오른쪽 위치.$\left|x^{2^k}\right| = 1+\lfloor 2^k\log x\rfloor$$2^k\log(x)$$\log(x)$$k$$\log(x)$$k$$1$$x^{2^k}$$k$