포인트 거리에 따라 가중 된 모서리가있는 그래프에서 임베드 된 포인트 복구

가중치가있는 모서리가있는 무 방향 그래프를 제공하고 각 노드가 3D 공간의 점에 해당한다고 가정합니다. 두 노드 사이에 모서리가있을 때마다 모서리의 가중치는 점 사이의 거리입니다.

목표는 가용 거리 (가장자리 가중치로 표시) 만 주어 점의 상대 위치를 재구성하는 것입니다. 예를 들어, 만약 내가 당신에게 그러면 점들이 4 면체의 꼭짓점이라는 것을 알 수 있습니다. 원점이 어느 방향에 있는지, 또는 방향이 대칭인지는 알 수 없지만 사면체라고 말할 수는 있습니다.$d_{0,1} = d_{0,2} = d_{0,3} = d_{1,2} = d_{1,3} = d_{2,3} = 1$

일반적으로 모든 가장자리 길이를 제공하면 문제가 쉽습니다. 그냥 임의로 포인트 선택 에 수 , 다음 이웃 포인트 선택 하고 그것을 배치 , 다음 공통 이웃 XY로에 삼각됩니다 평면 인 경우 최종 공통 이웃 이 반 공간 으로 삼각 측량되고 나머지 대칭을 끊습니다 ( 점을 선택하지 않은 경우). 이 4 개의 점을 사용하여 나머지 모든 점을 삼각 측량 할 수 있습니다. ( 0 , 0 , 0 $p_0$$(0,0,0)$ ( d 0 , 1 , 0 , 0 ) p 2 p 3 z > $p_1$$(d_{0,1},0,0)$$p_2$$p_3$$z > 0$

반면에 일부 모서리 길이가 누락되면 임베딩을 복구하지 못할 수 있습니다. 예를 들어, 절단 할 때 그래프의 연결을 끊는 정점이있는 경우 제거하면 분리 할 두 구성 요소가 서로에 대해 스윙 할 수 있습니다.

질문이 생깁니다.

• 솔루션을 찾는 데 비용이 얼마나 드나요?
• 번역 / 회전 / 미러링까지 솔루션이 고유한지 어떻게 알 수 있습니까? 3- 연결이 충분합니까? 필요한?
• 어떤 조건이 문제를 사소하게 만드는가?
• 가장자리 가중치가 실제로 포인트 거리 sin 3d에 해당한다고 약속하지 않으면 임베딩이 가능한지 결정하는 데 얼마나 비쌉니까?

이 문제를 해결하기위한 하나의 알고리즘 접근 방식 : 이것을 스프링으로 연결된 노드 세트로 취급 한 다음, 형태 / 안정화하게하십시오.

각 모서리 는 스프링에 해당합니다. 점 와 사이의 거리 가 인 것으로 가정 하면 스프링은 이상적으로 길이 ( 길이 가 더 길거나 짧을 수 있음)가되도록 선택됩니다. ). 이제 총 에너지를 최소화하는 일련의 위치를 ​​해결하려고합니다. 각 정점 가 지점에 있다고 가정합니다 . 그러면이 배열의 총 에너지는v w d v , w d v , w v x v ∈ R$(v,w)$$v$$w$$d_{v,w}$$d_{v,w}$$v$$x_v \in \mathbb{R}^3$

여기에 가 주어지고 (가장자리에 가중치가 있습니다) 에 대해 (그들은 점의 좌표입니다). x $d_{v,w}$$x_v$

이 총 에너지를 최소화 하는 배열 를 풀 수 있습니다 . 이 배열은 포인트의 위치에 대한 합리적인 후보를 제공합니다. 이것은 최적화 문제이며 이러한 종류의 최적화 문제를 해결하기위한 표준 기술이 있습니다. 예를 들어 Erica Klarreich의 Network Solutions 기사를 참조하십시오 .$x$

이것이 올바른 원하는 솔루션을 제공한다고 보장하지는 않습니다. 최적화 문제가 찾고자하는 실제 포인트 배열을 반영하지 않는 다른 최적으로 설정 될 수 있습니다. 그러나 그래프가 충분히 조밀하면 종종 작동하여 원하는 솔루션을 제공 할 것으로 생각됩니다.

각주 : 물론 최상의 경우에도 변환은 모든 거리를 유지하므로 변환, 회전 및 반사까지만이 문제를 해결할 수 있습니다. 따라서 고유 한 솔루션을 기대할 수는 없지만 솔루션이 변환, 회전 및 반영에 고유 한 것이기를 바랍니다.

마지막으로 공간에 그래프를 포함시키는 데 많은 노력이 필요하지만 포함 의 왜곡을 최소화합니다. 그것은 매우 관련이 있습니다. 기본적으로 0 왜곡을 . 따라서 해당 컨텍스트에서 개발 된 기술도 문제에 유용 할 수 있습니다. 일반적으로이 작업은 왜곡이 적은 임베딩을 찾는 데 중점을 둡니다.이 작업은 모든 거리가 정확하게 일치하는 완벽한 임베딩이없는 경우에 중점을두기 때문에 왜곡이 적은 솔루션 (가장자리 거리가 가장 큰 솔루션)을 찾습니다. 일이 약간 다른 문제에 초점을 맞추도록). 그러나 해당 기술이 사용자의 상황에서도 효과적 일 수 있습니다. 시도해 볼 가치가 있습니다.ℓ $\ell_2$$\ell_2$

문제는 NP-Complete 입니다. 포인트의 위치는 좋은 인증서이므로 NP에 있으며 회로를 "만족스러운 포인트 세트가 있습니까?" 문제.

회로 평가에서 거리 임베딩으로 감소

좌표계를 작성하고, 논리 비트를 넣고, 비트를 동일하게하고, NOT 및 AND 게이트 용 위젯을 작성하여 회로 평가를 거리 매입 문제로 줄일 것입니다.

1. 좌표 . 점을 배치 할 수있는 일종의 좌표계가 필요합니다. "기본"4 면체 점을 작성하여이를 수행하십시오. 서로 의 거리로 선언 된 4 개의 점을 모두 더하십시오 . 이것은 4 개의 점의 형태를 4 면체로 만듭니다. 베이스의 네 모서리 각각에 대한 거리를 지정하여 사면체 좌표계를 기준으로 다른 점을 배치 할 수 있습니다. 4 면체는 변환되고 회전되고 반영 될 수 있지만 다른 모든 점에서도 마찬가지입니다.$1$

2. 비트 . 비트를 만들기 위해 기본 사면체를 기준으로 점의 삼각형을 배치합니다. 삼각형의 법선은 Z 축을 따라 위쪽을 향해야 삼각형이 XY 평면에 평행하게됩니다 (사면체 좌표로). 또한 모서리의 길이는 이어야합니다 . 이것으로, 우리는 "value"point 추가하고 , 다른 3으로부터 의 거리로 지정됩니다 . 우리는 하지 않는 연결 기본 좌표계에. 이것은 두 개의 가능한 위치를 제공합니다 : 정사면체의 마지막 구석으로서 삼각형 위 또는 아래에 중심 . 점이 삼각형 위에 있으면 비트가 ON이고 아래에 있으면 OFF입니다.대 1 대 $1$$v$$1$$v$$\frac{1}{\sqrt{3}}$

3. 전선 . 값 포인트 사이의 거리가 삼각형 중심 사이의 거리와 같다고 말함으로써 두 비트를 동일하게 만들 수 있습니다. 한 비트의 상단 또는 하단 모서리가 다른 비트의 중심 평면과 정확히 일치하는 경우는 예외입니다. 이 경우 먼저 와이어를 사용하여 비트 중 하나를 수직으로 이동시킵니다.

4. 아닙니다 . 동일한 삼각형에 두 번째 값 점 를 추가하여 비트의 부정을 얻을 수 있지만 는 와 의 거리 여야합니다 . 이것은 에 삼각형에 대해 반대 위치를 취 하게하여 반대 값을 갖는 비트를 우리에게줍니다.w $w$$w$ Vw$\frac{2}{\sqrt{3}}$$v$$w$$v$

5. 임병 . 와이어로 해결해야하는 등거리 문제는 실제로 매우 유용합니다. 비트가 그런 식으로 정렬되면 수직 와이어로 힘을 가할 수 있습니다. 높은 것은 낮은 것을 의미합니다. 더 높은 것이 사실이라면, 더 낮은 것의 상단 만이 올바른 거리에 있습니다. 높은 쪽이 거짓이면 위쪽과 아래쪽이 모두 올바른 거리에 있습니다.

6. 그리고 . 비트 를 AND 와 동일하게 만들려면 와 동의 할 때 평등을 강제하는 두 가지 의미와 위젯이 필요 합니다. 의미는 와 입니다. 위젯을 만들기 위해 와 수직으로 이동 하여 동일한 레벨과 거리를두고 를 이동시켜 와 위젯 사이를 동일하게 만듭니다. 그런 다음 와 에서 거리에 점 와 를 추가합니다.A B A B $C$$A$$B$$A$$B$$C \implies A$A B $C \implies B$$A$$B$$\frac{2}{\sqrt 3}$$C$$S_A$$S_B$$\frac{\sqrt 2 - 1}{2 \sqrt 3}$$A$$B$의 값을 점 각각 간의 거리 강제 및 될 . 우리는 또한 점을 추가 거리 에서 모두 및 . 체인의 중심에 를 사용하여 와 의 가치 지점 사이에 체인을 만듭니다 . 경우 , 체인이 한계까지 신장되고 중심 인 의 삼각형. 때 체인 링크는 정반대의 방향으로 갈 강제로 밀어$S_A$$S_B$$\frac{\sqrt 2 + 1}{\sqrt 3}$$S_C$$\frac{\sqrt 2 + 1}{2 \sqrt 3}$$S_A$$S_B$$A$$B$$S_C$$A \neq B$$S_C$$C$$A = B$한계에 도달하고 를 의 값 포인트에 동일하게 배치합니다 . 강제로 의 값이 점, 우리는 점 삽입 간격 에서 모두 및 의 값을 점 '. 이것은 일 때 의 값 포인트를 제한하지 않지만 때 강제 합니다.$S_C$$C$$A$$C$$S_D$$\frac{1}{2 \sqrt 3}$$S_C$$C$$C$$A \neq B$$A=B=C$$A=B$

이러한 요소를 사용하면 모든 회로를 거리 임베딩으로 인코딩 할 수 있습니다. 입력은 비트가되고, 게이트는 NOT으로 분해되고 필요에 따라 새로운 비트를 도입하는 AND가됩니다. 출력 위치를 강제로 적용하면 만족도 문제가 발생합니다.

고유성에 대한 부분 답변 : 3- 연결성은 충분 하지 않습니다 .

최소 이의 예 : 큐브 그래프 ( 의 하이퍼 큐브 그래프 가족 )$Q_3$

에서 모든 모서리의 길이를 고정 하는 것이 평행 이동 / 미러링에 고유 한 3 차원 공간의 정점에 위치를 제공하지 않는 방법을 보려면 골판지 상자를 평평하게 만드는 방법 을 살펴보십시오 (두 개의 반대쪽면이 제거 된 경우) .$Q_3$

골판지 상자의 모서리를 관심 꼭지점으로 가져갑니다. 골판지 상자의 각 모서리는 상자의면을 공유하는 다른 모서리와 일정한 거리를 유지합니다.

결과 그래프는 보다 훨씬 더 많은 모서리를 가지고 있지만 판지 상자를 평평하게 만들 수 있습니다.$Q_3$

이것은 다음과 같은 문제로 알려져 있으며, 예를 들어 근처 노드까지의 거리를 측정 할 수있는 센서 네트워크에서 좌표를 재구성 할 때 발생합니다. 주요한 방법은 Singular Value Projection, 또 다른 Singular Value Threshholding이라고합니다. 알고리즘은 일반적으로 행렬 대수 및 순위 감소를 기반으로합니다. 이 논문은 두 알고리즘을 모두 구현하고 경험적 분석을 제공합니다.

부분 거리 정보에서 유클리드 거리 재건 Xu, Chen