람다 미적분의 조합 해석

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에 따르면 피터 셀린 , 람다 미적분은 대수이다 (PDF). 이 기사 초반에 그는 다음과 같이 말합니다.

그것은 만족하지 않기 때문에 람다 계산법의 조합 적 해석이 불완전한 것으로 알려져 - 규칙 : 해석 하에서, 의미하는 것은 아니다 (Barendregt, 1984). $ξ$ $M = N$ $\lambda x.M = \lambda x.N$

질문 :

여기서 어떤 종류의 동등성이 의미됩니까?
동등성에 대한 이러한 정의가 주어지면 그 의미에 대한 반례는 무엇입니까?

terminology lambda-calculus combinatory-logic

— 사이먼 샤인
소스

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등가는 논의중인 방정식 lambda-이론에서 등가입니다 . 이 경우, 그것은 표 1에 요약 된 이론이다.이 이론은 포함하지 않는다는 것을 주목하라 : 그렇게하면 이론이 확장 될 것이며, 결국 의 강렬함을 존중 하고 CL을 만들 것이다. 부분적으로 연장되는. 왜 다른 답변에 언급되어 있는지 잘 모르겠습니다 . $\lambda$ $\eta$ $\xi$ $\lambda$ $\eta$

참고한다는 점에서 : $\lambda$

\begin{matrix} (1) & (M =_{β} N) ⟹ (λ x . M =_{β} λ x . N) \end{matrix}

$(M =_\beta N) \Longrightarrow (\lambda x.M =_\beta \lambda x.N) \tag{1}$

이는 직관적으로 명백해야한다 : 만약 있다 에 -convertible 그 자체로 의미 할 때, 그것은 또한 에 -convertible 그것의 subterm 때 . $M$ $\beta$ $N$ $\beta$ $N$ $\lambda x.M$

- 규칙으로 정의 은이 추론이 이론의 일부일 때이 추론을 직접 가능하게합니다 . CL 아날로그는 다음과 같습니다. $\xi$

\begin{aligned} M & = N \\ (ξ_{λ}) & (λ x . M) & = (λ x . N) \end{aligned}

$\begin{align} M &\;= N \\ \hline (\lambda x.M) &\;= (\lambda x.N) \tag{$\xi_\lambda$} \end{align}$

λ

$\lambda$

\begin{aligned} M & = N \\ (ξ_{C L}) & (λ^{*} x . M) & = (λ^{*} x . N) \end{aligned}

$\begin{align} M &\;= N \\ \hline (\lambda^* x.M) &\;= (\lambda^* x.N) \tag{$\xi_{CL}$} \end{align}$

이제 요점은 CL에서 다음을 유지하지 않는다는 것입니다 .

\begin{matrix} (2) & (M =_{w} N) ⟹ (λ^{*} x . M =_{w} λ^{*} x . N) \end{matrix}

$(M =_w N) \Longrightarrow (\lambda^* x.M =_w \lambda^*x.N) \tag{2}$

두 용어는 약하게 동일한 경우 즉, 다음이 아닌 반드시 자신의 의사 추상화 된 버전의 사실.

결과적으로 CL 이론 에 을 추가하면 다른 정규형을 갖는 항을 동일시하기 시작합니다. $\xi_{CL}$

노트. 여기서, 은 약한 동등성을 나타낸다. 이는 일련의 및 수축 ( 이론의 일부인 경우 도 가능)에 의해 을 (또는 그 반대로) 변환 할 수 있음을 의미합니다 . 아시다시피, 는 의 CL 유사체입니다 . $M =_w N$ $M$ $N$ $\mathsf{S}$ $\mathsf{K}$ $\mathsf{I}$ $=_w$ $=_\beta$

$\lambda^*$ 는 문서의 5 페이지에 정의 된 의사 차단기입니다. 다음과 같은 속성이 있습니다.

\begin{matrix} (3) & (λ^{*} x . M) N ⊳_{w} [N / x] M \end{matrix}

$(\lambda^*x.M)N \rhd_w [N/x]M \tag{3}$

이 속성은 쉽게 어떤위한 CL 아날로그 찾을 수 있습니다 단지 변화 : -term 에 하고의 정의에 따라 번역을 적용 . $\lambda$ $\lambda$ $\lambda^*$ $\lambda^*$

분명히, 이 답변 의 'counter-example'은 (2)에 대한 반례가 아닙니다. 우리가 가지고 있다면 :

\begin{matrix} (4) & M = x \end{matrix}

$M = x \tag{4}$

\begin{matrix} (5) & N = (λ^{*} z . z) x \end{matrix}

$N = (\lambda^*z.z)x \tag{5}$

그런 다음 실제로 5 페이지의 번역을 적용하고 가 4 페이지 끝에 로 정의되어 있음 을 나타냅니다. $N$ $\mathsf{I}$ $\mathsf{SKK}$

\begin{matrix} (6) & N = (λ^{*} z . z) x = I x = S K K x \end{matrix}

$N = (\lambda^*z.z)x = \mathsf{I}x = \mathsf{SKK}x \tag{6}$

이후 , 우리는 그 사실이 . 그러나 반대의 예라면 합니다. 그러나 우리가 번역하면 실제로 다음을 얻습니다. $\mathsf{SKK}x \rhd_w \mathsf{K}x(\mathsf{K}x) \rhd_w x$ $M =_w N$ $(\lambda^* y. M) \not=_w (\lambda^* y. N)$

\begin{matrix} (7) & (λ^{*} y . M) = (λ^{*} y . x) = K x \end{matrix}

$(\lambda^* y. M) = (\lambda^* y. x) = \mathsf{K}x \tag{7}$

\begin{matrix} (8) & (λ^{*} y . N) = (λ^{*} y . S K K x) = K (S K K x) \end{matrix}

$(\lambda^* y. N) = (\lambda^* y. \mathsf{SKK}x) = \mathsf{K}(\mathsf{SKK}x)\tag{8}$

그리고 (7)과 (8)이 여전히 약한 지 확인하기 쉽습니다.

\begin{matrix} (9) & K (S K K x) ⊳_{w} K (K x (K x)) ⊳_{w} K x \end{matrix}

$\mathsf{K}(\mathsf{SKK}x) \rhd_w \mathsf{K}(\mathsf{K}x(\mathsf{K}x)) \rhd_w \mathsf{K}x \tag{9}$

이제 (2)에 대한 적절한 반례는 다음과 같습니다.

M = K x y

$M = \mathsf{K}xy$

N = x

$N = x$

이후 , 우리는 확실히 그이 . 그러나 추상화 된 버전을주의 깊게 번역하면 둘 다 고유 한 일반 형식이며 교회-로서 정리에 따라 변환 할 수 없습니다. $\mathsf{K}xy \rhd_w x$ $M =_w N$

먼저 을 확인합니다 . $M'$

\begin{aligned} M^{'} & = λ^{*} x . K x y \\ = S (λ^{*} x . K x) (λ^{*} x . y) \\ = S (λ^{*} x . K x) (K y) \\ = S (S (λ^{*} x . K) (λ^{*} x . x)) (K y) \\ = S (S (λ^{*} x . K) (I)) (K y) \\ = S (S (λ^{*} x . K) (S K K)) (K y) \\ = S (S (K K) (S K K)) (K y) \end{aligned}

$\begin{align} M' &= \lambda^* x.\mathsf{K}xy \\ &= \mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K}x)(\lambda^* x.y)\\ &= \mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K}x)(\mathsf{K}y) \\ &= \mathsf{S}(\mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K})(\lambda^* x.x))(\mathsf{K}y) \\ &= \mathsf{S}(\mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K})(\mathsf{I}))(\mathsf{K}y) \\ &= \mathsf{S}(\mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K})(\mathsf{SKK}))(\mathsf{K}y) \\ &= \mathsf{S}(\mathsf{S}(\mathsf{KK})(\mathsf{SKK}))(\mathsf{K}y) \end{align}$ 여기서 이 정상적인 형태인지 확인할 수 있습니다 . 여기서 가 CL의 추상화 기처럼 행동 해야하는지 예상해야 하므로 를 확인할 수 있습니다 .

M^{'}

$M'$

(λ^{*} x . K x y) P ⊳_{w} P

$(\lambda^* x.Kxy)P \rhd_w P$

λ^{*}

$\lambda^*$

이제 우리는 을 확인합니다 : $N'$

\begin{aligned} N^{'} & = λ^{*} x . x \\ = I \\ = S K K \end{aligned}

$\begin{align} N' &= \lambda^*x.x \\ &= \mathsf{I} \\ &= \mathsf{SKK} \end{align}$

이것은 분명히 과 다른 정상적인 형태 이므로 Church-Rosser 정리에 의해 입니다. 또한 , 즉 및 '은 임의의 입력 대해 동일한 출력을 생성합니다 . $M'$ $M' \not=_w N'$ $N'P \rhd_w P$ $M'$ $N'$ $P$

우리는 이제 (2)가 CL을지지하지 않으며 포함하는 CL 이론 이 약하게 같지 않은 용어와 동일하다는 것을 증명했다. 그러나 왜 우리는 관심이 있습니까? $\xi$

글쎄, 우선, 이것은 의 조합 해석을 불완전 하게 만듭니다 . $\lambda$

또한 더 중요한 것은 와 CL 의 확장 이론이 있지만 원래는 일반적으로 강렬하게 유지된다는 것입니다. 와 CL 모델 계산은 프로세스로서, 그리고 이러한 관점에서 항상 동일한 결과 (동일한 입력 값을 제공함)를 생성하는 두 개의 다른 프로그램 (구체적으로 다른 정규형을 갖는 항)은 동일하지 않아야하기 때문에 강렬 성은 좋은 특성 입니다. 는 에서이 원칙을 존중하며 , 확장 하려면 추가하면 됩니다. 그러나 의 소개 $\lambda$ $\lambda$ $\xi$ $\lambda$ $\lambda$ $\eta$ $\xi$ CL에서 더 이상 완전히 강렬하지는 않습니다 (사실 부분적으로 만). 그리고 이것이 기사가 말한 것처럼 ' '의 이유입니다 . $\xi$

— 로이 오
소스

1

나는 주제에 대해 거의 알지 못하기 때문에 품질에 대해 언급 할 수 없지만 약간의 작업처럼 보입니다. 감사합니다!

— Raphael

실제로 게시물이 예상보다 오래되었습니다. 귀하의 의견에 감사드립니다. :)

— Roy O.

2

아, 그래 일어난다 . 정기적으로 .

— Raphael

3

편집 다른 답변자가 올바르게 지적 했으므로이 답변이 잘못되었습니다. 나는 Asperti & Longo의 조합 논리로의 변환을 사용했는데, 이는 Selinger와는 조금 다릅니다.

실제로 이것은 중요한 점을 보여줍니다. 람다 미적분의 "조합 해석"은 단일 한 것이 아닙니다! 저자마다 약간 씩 다릅니다.

나는 후손을 위해 여기에 내 대답을 남기고 있지만 다른 대답은 더 낫습니다.

이러한 맥락에서의 동등성은 Selinger의 논문에서 표 1과 2에 의해 정의된다. 그러나 약간 다른 axiomatisation는 일을 좀 더 명확하게 만들 수 있습니다.

실제로 의미하는 것은 이론 에서 두 용어를 변환 할 수 있다는 것 입니다. 다음 두 가지 공리로 "전환성"을 정의 할 수 있습니다. $\lambda$

$\beta$ . , 만약 무료 의 $(\lambda x. M) N = [N/x]M$ $x$ $N$ $M$
$\eta$ . , 경우 무료하지 $\lambda y. M y = M$ $y$ $M$

플러스 물론, 필요한 일반적인 공리와 추론 규칙을 만들려면 적합성. 이것으로부터 모든 반대의 예는 규칙이 깨졌을 때 자유 변수 조건에 의존한다는 것이 명백해야합니다 . $=$ $\eta$

아마도 이것이 가장 간단하다고 생각합니다.

M = x

$M = x$

N = (λ z . z) x

$N = (\lambda z. z) x$

임을 직접 확인할 수 있습니다 이지만 각각의 조합 해석은 표 2의 규칙에 따라 동일하지 않습니다. $\lambda y. M = \lambda y. N$

— 아호
소스

내가 당신의 대답에 대해 이해하지 못하는 것 : 1) 왜 언급 합니까? 표 1의 이론은 그것을 포함하지 않고 분명히 강렬합니까? 2) 방법의 조합 적 해석이다 및 같지 않습니까? 내 대답의 파생은 그들이 있음을 보여줍니다. 3) -rule은 다루지 않지만 문제의 원인입니다.

η

$\eta$

λ y . M

$\lambda y.M$

λ y . N

$\lambda y. N$

ξ

$\xi$

— Roy O.