건축 미적분학에서

내가 찾고 있어요 구조물의 미적분 과에서의 위치 람다 큐브 .

올바르게 이해하면 큐브의 각 축은 유형이 포함 된 다른 연산을 간단한 유형의 미적분에 추가하는 것으로 생각할 수 있습니다 . 첫 번째 축은 유형 대 연산자, 두 번째 유형 대 연산자 및 세 번째 종속 유형 또는 용어 대 연산자를 추가합니다. CoC에는 세 가지 모두가 있습니다. $\lambda_\to$

그러나, CoC를이 용어 소개 하고, 국가가 바이 추론 규칙 하지만, 그 사용되지 않습니다. 나는 그것이 동의어 명제에 대한 것이라는 것을 이해하지만, 논리 명제는 그 관점에서 정의되지 않습니다. $Prop$ $Prop : Type$

이 무엇인지 , 언제 / 어떻게 나타나는지 설명하고 큐브의 축으로 설명 할 수 있습니까 (실제로 가능하다면)? $Prop$

— 마이클 로손
소스

전통적인 Martin-Löf 유형 이론에서는 유형과 명제를 구분하지 않습니다. 이것은 "유형으로서의 제안"이라는 슬로건 아래에 있습니다. 그러나 때로는 그것들을 구별 해야하는 이유가 있습니다. CoC는 정확히 그렇게합니다.

이 CoC를 많은 변종이 있지만, 대부분의 것 만 하지 . 우리는 무한히 많은 종류의 우주를 가지고 할 때까지 또 다른 차이점을 보여줍니다 impredicative (이 COQ가하는 일입니다). 구체적으로, 우리가 가진 변종 CoC를 고려 무한히 많은 형태 유니버스 ,

피 아르 자형 영형 피 : 티 와이 피 이자형

$\mathsf{Prop} : \mathsf{Type}$

T y p e : P r o p

$\mathsf{Type} : \mathsf{Prop}$

P r o p

$\mathsf{Prop}$

P r o p

$\mathsf{Prop}$

{T y p e}_{1}

$\mathsf{Type}_1$

과

{T y p e}_{2}

$\mathsf{Type}_2$

{T y p e}_{3}

$\mathsf{Type}_3$

의 형성 규칙

형성하는 방법을 설명한다

\begin{aligned} 피 아르 자형 영형 피 & : {티 와이 피 이자형}_{1} \\ {티 와이 피 이자형}_{1} & : {티 와이 피 이자형}_{2} \\ {티 와이 피 이자형}_{2} & : {티 와이 피 이자형}_{삼} \\ ⋮ \end{aligned}

$\begin{align*} \mathsf{Prop} &: \mathsf{Type}_1 \\ \mathsf{Type}_1 &: \mathsf{Type}_2 \\ \mathsf{Type}_2 &: \mathsf{Type}_3 \\ &\vdots \end{align*}$

\prod

$\prod$

명제 또는 형식 중 하나이고,

중 어느 하나 또는 제안 유형이다. 네 가지 조합이 있습니다.

\prod_{x : A} B (x)

$\prod_{x : A} B(x)$

A

$A$

B (x)

$B(x)$

$\frac{ㅏ : 피 아르 자형 영형 피 엑스 : ㅏ ⊢ 비 (엑스) : 피 아르 자형 영형 피}{\prod_{엑스 : ㅏ} 비 (엑스) : 피 아르 자형 영형 피}$ $\frac{A : \mathsf{Prop} \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Prop}} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Prop}}$
$\frac{ㅏ : {티 와이 피 이자형}_{나는} 엑스 : ㅏ ⊢ 비 (엑스) : 피 아르 자형 영형 피}{\prod_{엑스 : ㅏ} 비 (엑스) : 피 아르 자형 영형 피}$ $\frac{A : \mathsf{Type}_i \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Prop}} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Prop}}$
$\frac{ㅏ : 피 아르 자형 영형 피 엑스 : ㅏ ⊢ 비 (엑스) : {티 와이 피 이자형}_{나는}}{\prod_{엑스 : ㅏ} 비 (엑스) : {티 와이 피 이자형}_{나는}}$ $\frac{A : \mathsf{Prop} \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Type}_i} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Type}_i}$
$\frac{ㅏ : {티 와이 피 이자형}_{나는} 엑스 : ㅏ ⊢ 비 (엑스) : {티 와이 피 이자형}_{제이}}{\prod_{엑스 : ㅏ} 비 (엑스) : {티 와이 피 이자형}_{최대 (나는, 제이)}}$ $\frac{A : \mathsf{Type}_i \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Type}_j} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Type}_{\max(i,j)}}$

가장 흥미로운 것은 두 번째 사례와 네 번째 사례의 차이점입니다. 네 번째 규칙에 따르면 가 번째 유니버스에 있고 가 번째 유니버스에 있으면 곱은 유니버스에 속합니다. 그러나 두 번째 규칙은 우리에게 말하고 것입니다 하지 때문에, 그냥 "하단에있는 또 하나의 우주" 에 땅을 $A$ $i$ $B(x)$ $j$ $\max(i,j)$ $\mathsf{Prop}$ $\prod_{x : A} B(x)$ $\mathsf{Prop}$ 가 아무리 크더라도 가 되는 즉시 . 이다 impredicative 이 요소 정의 할 수있게 해준다 때문에 통해 정량함으로써 자체. $B(x)$ $A$ $\mathsf{Prop}$ $\mathsf{Prop}$

구체적인 예는 것 대 제 제품 거주지 하지만 초 하나 인 (및 하지에서

\prod_{ㅏ : {티 와이 피 이자형}_{1}} ㅏ \to ㅏ

$\prod_{A : \mathsf{Type}_1} A \to A$

\prod_{ㅏ : 피 아르 자형 영형 피} ㅏ \to ㅏ

$\prod_{A : \mathsf{Prop}} A \to A$

{T y p e}_{2}

$\mathsf{Type}_2$

P r o p

$\mathsf{Prop}$

비록 우리가

의 원소를 정량화하고 있지만

{T y p e}_{1}

$\mathsf{Type}_1$

{T y p e}_{1}

$\mathsf{Type}_1$ ). 특히, 이는

가능한 값 중 하나 가

자체

의미합니다.

A

$A$

\prod_{A : P r o p} A \to A

$\prod_{A : \mathsf{Prop}} A \to A$

— 안드레이 바우어
소스