이 제곱근 바운드 찾기 알고리즘에서 루프 불변 값을 어떻게 얻습니까?

원래 math.SE에 있지만 대답하지 않았습니다 .

다음 알고리즘을 고려하십시오.

u := 0
v := n+1;
while ( (u + 1) is not equal to v) do
   x :=  (u + v) / 2;
   if ( x * x <= n) 
     u := x;
   else
     v := x;
   end_if
end_while 

여기서 u, v 및 n은 정수이고 나누기 연산은 정수 나누기입니다.

• 알고리즘에 의해 계산되는 것을 설명하십시오.
• 파트 I에 대한 답을 알고리즘의 사후 조건으로 사용하여 루프 불변을 설정하고 알고리즘이 종료되고 올바른지 보여줍니다.

$0 \leq u^2 \leq n < (u + 1)^2$$0 \leq u^2 \leq n < v^2, u + 1 \leq v$$u + 1 = v$... 분명히 그렇지 않습니다. 그래서 나는 사후 조건과 불변성을 어떻게 얻었는지 궁금합니다. 또한 사후 조건을 사용하여 사전 조건을 얻는 방법에 대해 궁금합니다.

Gilles는 일반적인 기술이 흥미로운 관찰을 위해 낚시를하는 것입니다.

이 경우 프로그램이 다음과 같은 형태이기 때문에 이진 검색의 인스턴스라는 것을 알 수 있습니다.

while i + 1 != k
  j := strictly_between(i, k)
  if f(j) <= X then i := j
  if f(j) > X then k := j

그런 다음 특정 플러그 단지 f, X... 이진 검색에 대한 일반적인 불변으로. Dijkstra는 바이너리 검색에 대한 좋은 토론을 가지고 있습니다.

$u+1=v$break$u+1 \neq v$$u = \text{[this interesting thing]}$$v = \text{[this interesting thing]}$

이제 다른 흥미로운 속성을 찾기 위해 일반적인 레시피는 없습니다. 사실, 루프 불변량을 찾는 일반적인 레시피가 없다는 공식적인 의미가 있습니다. 당신이 할 수있는 최선의 방법은 경우에 따라 작동하거나 일반적으로 흥미로운 관찰을 위해 낚시를하는 것입니다 (더 경험이 많을수록 더 잘 작동합니다).

몇 가지 값으로 반복을 몇 번 반복하면 $n$

• $u$$(u+v)/2$
• $v$$(u+v)/2$

$u$$v$$u$$v$$n+1$$0 \le u \le v \le n+1$

$u$$v$$u$$v$$x = u = v$$u$$v$$u < v$$u$$v$$u+1 \le v$

$v = u+1$$u^2 \le n < v^2$$0 \le u^2$$n$$n$$n$

• $u \le x \le v$
• $x^2 \le n$$u$$x$$u^2 \le n$$v$
• $x^2 > n$$v$$x$$n < v^2$$u$

$u^2 \le n < v^2$

$u^2 \le n$$(u+1)^2 > n$$u$$n$ 가장 가까운 정수로 내림.