가장 긴 피보나치 부분 문자열을 찾기위한 순진한 알고리즘의 복잡성

두 개의 기호 와 주어지면 번째 피보나치 문자열을 다음과 같이 정의합시다 . $\text{a}$ $\text{b}$ $k$

F (k) = {\begin{cases} b & if k = 0 \\ a & if k = 1 \\ F (k - 1) ⋆ F (k - 2) & else \end{cases}

$F(k) = \begin{cases} \text{b} &\mbox{if } k = 0 \\ \text{a} &\mbox{if } k = 1 \\ F(k-1) \star F(k-2) &\mbox{else} \end{cases}$

와 문자열 연결을 나타내는. $\star$

따라서 우리는 :

$F(0) = \text{b}$
$F(1) = \text{a}$
$F(2) = F(1) \star F(0) = \text{ab}$
$F(3) = F(2) \star F(1) = \text{aba}$
$F(4) = F(3) \star F(2) = \text{abaab}$
...

문자열이 주어 에 의해 형성된 심볼, 우리는 모든 피보나치 서브 스트링으로 정의 문자열 의 도의 적절한 선택을위한 피보나치 문자열 및 . $S$ $n$ $S$ $\text{a}$ $\text{b}$

문제

주어지면 가장 긴 피보나치 부분 문자열을 찾고 싶습니다. $S$

사소한 알고리즘

문자열 의 각 위치 에 대해 가 시작 한다고 가정합니다 번째 및 번째 기호가 고유한지 확인하기에 충분합니다 ). 이 경우 으로 확장 한 다음 등 으로 확장 할 수 있는지 확인하십시오 . 그런 다음 위치에서 다시 시작하십시오 . 위치 도달 할 때까지 반복하십시오 . $i$ $S$ $F(2)$ $i$ $(i+1)$ $F(3)$ $F(4)$ $i+1$ $n$

$\Omega(n)$ $O(n^2)$

$i$

피보나치 속성을 사용하여이 알고리즘의 실행 시간에 대해 더 엄격한 범위를 찾으려면 어떻게해야합니까?

— wil93
소스

$F(n)$ $F(n)$ $F(n)$ $F(4) = abaab$ $F(4)$ $p$ $p+1$ $p+2$ $p+3$ $\ell(n)$ $F(\ell)$ $\ell$ $n \geq 4$ $\ell(n) = |F(n-1)|$ $\ell(4) = 3$

$N$ $n$ $P(n)$ $F(n)$ $\sum_n |P(n)| |F(n)|$ $n$ $|F(n-1)| \leq N$ $F(n)$ $|F(n-1)|$

\sum_{n} | F (n) | (\frac{N}{| F (n - 1) |} + 1) .

$\sum_n |F(n)| \left(\frac{N}{|F(n-1)|} + 1\right).$

\sum_{n} | F (n) | = O (N)

$\sum_n |F(n)| = O(N)$

\sum_{n} O (N) = O (N \log N)

$\sum_n O(N) = O(N\log N)$

\log N

$\log N$

O (N \log N)

$O(N\log N)$

$F_n$ $\Omega(|F_n|\log|F_n|)$ $N$ $\Theta(N\log N)$

— 유발 필름 러스
소스