토 포리 게이트의 보편성

양자 Toffoli 게이트에 관해서 :

1. 그것은이다 classicaly 그렇다면 보편적하고, 그 이유는 무엇입니까?
2. 그것은 양자 보편적이며 왜 그런가?

Toffoli는 클래식 계산에 보편적입니다 (@Victor로 표시). 그러나 Toffoli는 양자 계산에 보편적이지 않습니다 ( P = B Q 와 같은 미친 것이 없다면)).$P = BQP$

양자 계산에 보편적으로 사용 되려면 (일반적인 정의에 따라) 게이트로 생성 된 그룹은 단일 단위로 밀도가 높아야합니다. 다시 말해서, 임의의 및 목표 단일 U 가 주어지면 유한 U ' 를 얻기 위해 유한 한 수의 양자 게이트를 적용하는 방법이 있습니다.$\epsilon$$U$$U'$ 그러한 .$||U - U'|| < \epsilon$

Toffoli 자체는 항상 기본 상태를 기본 상태로 가져 가기 때문에이 정의에서 보편적이지 않습니다. 따라서 예. 즉, 중첩을 만들 수 없습니다.$|0\rangle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$

인용 한 Wikipedia 기사에서 :

토 포리 게이트는 보편적입니다. 이것은 모든 부울 함수 f (x1, x2, ..., xm)에 대해 x1, x2, ..., xm 및 0 또는 1로 설정된 일부 추가 비트를 취하는 Toffoli 게이트로 구성된 회로가 있음을 의미합니다. x1, x2, ..., xm, f (x1, x2, ..., xm) 및 일부 추가 비트 (가비지). 본질적으로 이것은 Toffoli 게이트를 사용하여 가역적 인 방식으로 원하는 부울 함수 계산을 수행하는 시스템을 구축 할 수 있음을 의미합니다.

이는 부울 함수가 Toffoli 게이트로만 구성 될 수 있음을 간단히 의미합니다.

부울 함수는 일반적으로 OR, AND 및 NOT 게이트로 구성되며 부울 함수를 형성하기 위해 결합 될 수 있습니다. NOR 게이트 또는 NAND 게이트에서만 동일하다는 것이 널리 알려져 있습니다.

토 포리 게이트는 다음과 같이 요약 될 수 있습니다.

$\rm{Toffoli}(a, b, c) = \begin{cases} (a, b, ¬c) & \mbox{when }a=b=1 \\ (a, b, c) & \mbox{otherwise.}\end{cases}$

첫 번째와 두 번째 출력은 항상 첫 번째와 두 번째 입력과 같기 때문에 우리는이를 분담 할 수 있습니다. 그래서 우리는 :

$\rm{Toffoli}'(a, b, c) = \begin{cases} ¬c & \mbox{when }a=b=1 \\ c & \mbox{otherwise.}\end{cases}$

이를 통해 NAND 게이트를 다음과 같이 정의 할 수 있습니다.

$\operatorname{NAND}(a, b) = \rm{Toffoli}'(a, b, 1)$

NAND 게이트는 보편적이고 NAND 게이트는 Toffoli 게이트로 정의 될 수 있으므로, Toffoli 게이트는 보편적이다.

AND 및 NOT 게이트를 직접 구성하여 Toffoli가 보편적임을 증명하는 다른 방법이 있습니다.

$\operatorname{NOT}(x) = \rm{Toffoli}'(1, 1, x)$

$\operatorname{AND}(a, b) = \rm{Toffoli}'(a, b, 0)$

그런 다음 De Morgan의 법칙을 사용하여 OR 게이트를 구성 할 수 있습니다 .

$\operatorname{OR}(a, b) = \operatorname{NOT}(\operatorname{AND}(\operatorname{NOT}(a), \operatorname{NOT}(b)) = \rm{Toffoli}'(1, 1, \rm{Toffoli}'(\rm{Toffoli}'(1, 1, a), \rm{Toffoli}'(1, 1, b), 0))$

질문이 수정되고 범위가 변경되었으므로 수정 :

첫째, 나는 양자 컴퓨팅을 이해하지 못합니다. 따라서 잘못된 것이 있으면 의견을 추가하십시오. 나는이 답변을 완성시키기 위해 약간의 연구를했고 이것으로 끝났습니다.

Toffoli 게이트는 가역적입니다 (그러나 위에서 사용 된 Toffoli는 그렇지 않습니다). 즉, 계산으로 수행 한 모든 작업을 취소 할 수 있습니다. 이것은:

$(a, b, c) = \rm{Toffoli}(\rm{Toffoli}(a, b, c))$

즉, Toffoli가 두 번 적용되는 경우 트리플 (a, b, c)의 경우 원래 입력이 출력으로 표시됩니다.

양자 게이트는 가역적이어야하기 때문에 가역성이 중요하므로, 이에 따라 (클래식) 토 포리 게이트가 양자 게이트로 사용될 수있다.

여기 에 설명 된 것처럼 Deutsch 게이트는 Toffoli 게이트와 유사한 방식으로 정의되지만 클래식 게이트 대신 수량 게이트입니다.

$\operatorname{Deutsch}(a, b, c) = |a,b,c\rangle \mapsto \begin{cases} i \cos(\theta) |a,b,c\rangle + \sin(\theta) |a,b,1-c\rangle & \mbox{for }a=b=1 \\ |a,b,c\rangle & \mbox{otherwise.}\end{cases}$

이런 식으로 Toffoli 게이트는 다음과 같은 Deutsch 게이트의 특별한 경우입니다.

$\rm{Toffoli}(a, b, c) = \operatorname{Deutsch}(\frac{\pi}{2})(a, b, c)$

Toffoli 게이트는 고전적인 계산을 수행하지만 위상 편이 연산이 없으므로 Toffoli 게이트를 90도 동안 만 사용할 수 있습니다 ($\frac{\pi}{2}$) 위상 편이 (및 여러 게이트를 결합하여 90 도의 배수를 얻음). 그러나 이것은 또한 상태 sobrepositions를 만드는 데 사용될 수 없다는 것을 의미합니다. 90도 이하의 각도에서 위상 편이가 필요하기 때문에 Toffoli 게이트는 보편적 인 양자 게이트가 아닙니다.

우리가하다 마드 게이트에 Toffoli 게이트를 결합하면 범용 양자 Tgate 세트를 얻을 수 있습니다. 이것이 바로 Deutsch gate가하는 일입니다.

흥미로운 참고 자료는 여기 , 여기 및 여기 에서 찾을 수 있습니다 . Deutsch 변환의 기초를 보여주는 유용한 참조 가 여기 있지만 링크는 암호로 보호되어 있습니다.