Floyd-Warshall, Dijkstra 및 Bellman-Ford 알고리즘의 차이점에 대해 맞습니까?

나는 세 가지를 공부하고 아래에서 그들로부터 내 추론을 진술하고 있습니다. 내가 충분히 정확하게 이해했는지 알 수 있습니까? 감사합니다.

1. Dijkstra 알고리즘 은 단일 소스가 있고 한 노드에서 다른 노드로 가장 작은 경로를 알고 싶어 할 때만 사용되지만 이와 같은 경우에는 실패 합니다 .

2. Floyd-Warshall 알고리즘 은 모든 노드 중 하나가 소스가 될 수있는 경우에 사용되므로 소스 노드에서 대상 노드까지 가장 짧은 거리에 도달해야합니다. 음수 사이클이있는 경우에만 실패합니다.

3. Bellman-Ford 는 소스가 하나만있을 때 Dijkstra와 같이 사용됩니다. 이것은 음의 가중치를 처리 할 수 ​​있으며 그 작업은 하나의 소스를 제외하고 Floyd-Warshall과 동일합니다. (이것은 내가 가장 확신하지 않는 것입니다.)

Dijkstra의 알고리즘은 단일 소스가 있고 한 노드에서 다른 노드로 가장 작은 경로를 알고 싶지만 실패합니다 (음의 모서리가있는 그래프에서).

Dijkstra의 알고리즘은 단일 소스 최단 경로 또는 SSSP 알고리즘 의 한 예입니다 . 모든 SSSP 알고리즘은 선택된 소스 노드의 최단 경로 거리 계산 에 각 그래프의 다른 노드. 또한 s 에서 다른 모든 노드 까지 의 모든 최단 경로를 루트 트리 형태로 간결하게 표시 합니다. Wikipedia 코드 에서이 트리에서 v 의 부모입니다 .$s$$s$previous[v]$v$

모서리가 음인 그래프에서 Dijkstra 알고리즘의 동작은 논의중인 정확한 변형에 따라 다릅니다. Wikipedia의 알고리즘과 같은 일부 알고리즘 변형은 항상 빠르게 실행되지만 음수 에지가있을 때 최단 경로를 올바르게 계산하지 않습니다. 이 강의 노트에 있는 것과 같은 다른 변형 은 소스에서 도달 할 수있는 음의주기가없는 한 항상 가장 짧은 경로를 정확하게 계산하지만 음의 가장자리가있는 경우 최악의 경우 지수 시간이 필요할 수 있습니다.

Floyd-Warshall의 알고리즘은 모든 노드 중 하나가 소스가 될 수있을 때 사용되므로 가장 짧은 거리가 모든 소스 노드에서 대상 노드에 도달하기를 원합니다. 음수 사이클이있는 경우에만 실패합니다.

맞습니다. Floyd-Warshall은 모든 쌍 최단 경로 알고리즘 의 한 예입니다. 즉, 모든 노드 쌍 사이의 최단 경로를 계산합니다 . 또 다른 예는 "각 노드 v에 대해 v를 소스 노드로 사용하여 Dijkstra를 실행"입니다. 다른 몇 가지가 있습니다.

Bellman-Ford는 소스가 하나만있을 때 Dijkstra와 같이 사용됩니다. 이것은 음의 가중치를 처리 할 수 ​​있으며 그 작동은 Floyd-Warshall과 동일합니다. 하나의 소스를 제외하고는 그렇습니까?

$O(V^3)$$O(V^2E)$$O(VE)$

자세한 내용은 선호하는 알고리즘 교재를 참조하십시오. (당신은 좋아하는 알고리즘 교과서를 가지고 있습니까?)

세 가지 알고리즘은 모두 박재현 교수 (스탠포드 대학교)의 강의 슬라이드에서 다룹니다. 최단 경로 알고리즘 링크는 다음과 같습니다.

최단 경로 문제 의 Wikipedia 페이지는 SSSP와 APSP의 두 가지 다른 문제를 설명합니다.

단일 소스 최단 경로 (SSSP) :

• Dijkstra의 알고리즘 : 단일 소스 최단 경로 문제를 해결합니다.
• • 제약 : 네거티브 가장자리 만 처리 할 수 ​​없습니다.
• • 비가 중 그래프 : Dijkstra는 BFS와 동일합니다.

• Bellman–Ford 알고리즘 : 간선 가중치가 음수 일 경우 단일 소스 문제를 해결합니다. Dijkstra에서 음수 가중치를 처리 할 수있는 기능이 개선되었습니다.

모든 쌍 최단 경로 (APSP) :

• Floyd–Warshall 알고리즘 : 모든 쌍의 최단 경로를 해결합니다. 포지티브 및 네거티브 에지를 모두 처리합니다.
• • 제약 조건 : 음수 사이클을 처리 할 수 ​​없습니다.

따라서 Floyd–Warshall은 BFS와 동일하지 않지만 기본 방법론은 동일하고 동적 인 프로그래밍입니다.

아마도 이것은 답변이 아닌 의견이어야하지만 다른 답변에서는 언급하지 않는 알고리즘 사이의 차이점입니다.

사람들은 Floyd의 알고리즘을 Floyd-Warshall 이라고 부르는 경향이 있습니다. 있지만 Floyd와 Warshall의 알고리즘은 동일하지 않습니다.

Warshall의 논문에 따르면 이진 발생 행렬에서 Floyd의 알고리즘을 사용하는 경우 행하는 것은 행렬 곱셈입니다. 따라서 실제로 그런 식으로 구현할 수 있습니다. 예를 들어 벡터 곱셈을$O(1)$알고리즘은 $O(n^2)$.