특정 크기의 모든 비 등방성 그래프 열거

크기가 $n$ 인 모든 무 방향 그래프를 열거하고 싶지만 각 동 형사상 클래스의 인스턴스 하나만 필요합니다 . 다시 말해, $n$ 개의 꼭짓점 에서 모든 비 동형 (비 방향) 그래프를 열거하고 싶습니다 . 어떻게해야합니까?

보다 구체적으로, I는 무향 그래프의 시퀀스 생성 알고리즘 원하는 $G_1,G_2,\dots,G_k$ 다음과 같은 속성 : 모든 무향 그래프 $G$ 에 대한 $n$ 버텍스 인덱스가 존재 $i$ 되도록 $G$ 동형을 행 $G_i$ . 알고리즘이 가능한 한 효율적이기를 원합니다. 즉, 내가 관심있는 메트릭은이 그래프 목록을 생성하고 반복하는 실행 시간입니다. 두 번째 목표는 알고리즘이 구현하기에 너무 복잡하지 않으면 좋을 것입니다.

각 동 형사상 클래스에서 최소한 하나의 그래프가 필요하지만 알고리즘에서 둘 이상의 인스턴스를 생성해도 괜찮습니다. 특히, 출력 시퀀스에 두 개의 동형 그래프가 포함되어 있으면 가능합니다. 가능한 모든 그래프를 포함하는 한 그러한 알고리즘을 쉽게 찾을 수있게하거나보다 효율적인 알고리즘을 가능하게합니다.

내 응용 프로그램은 다음과 같습니다. 크기의 모든 그래프에서 테스트하려는 프로그램이 $n$있습니다. 두 그래프가 동형 인 경우 두 프로그램에서 모두 프로그램이 동일하게 작동하므로 (두 가지 모두에서 정확하거나 두 가지 모두에서 부정확 할 수 있음) 각 동 형사상 클래스에서 적어도 하나의 대표자를 열거 한 다음 테스트합니다. 그 입력에 프로그램. 내 응용 프로그램에서 $n$ 은 상당히 작습니다.

내가 고려한 일부 후보 알고리즘 :

• 가능한 모든 인접 행렬, 즉 대각선에 모두 0이있는 모든 대칭 $n\times n$ 0 또는 1 행렬을 열거 할 수 있습니다 . 그러나 이것은 $2^{n(n-1)/2}$ 행렬을 열거해야합니다 . 이러한 행렬 중 다수는 동형 그래프를 나타내므로 많은 노력을 낭비하는 것처럼 보입니다.

• 가능한 모든 인접 행렬을 열거하고 각각에 대해 이전에 출력 한 그래프와 동형인지 테스트합니다. 이전에 출력 된 것과 동형이 아닌 경우 출력하십시오. 이렇게하면 출력 목록이 크게 단축되지만 그래도 적어도 $2^{n(n-1)/2}$ 단계의 계산이 필요합니다 (그래프 동형 검사가 매우 빠르다고 가정하더라도).

• 인접 행렬의 하위 집합을 열거 할 수 있습니다. 특히, 가 n 개의 꼭짓점 V = { v 1 , … , v n } 에 대한 그래프 인 경우 , 일반성을 잃지 않고 꼭짓점이 deg v 1 ≤ deg v 2 ≤ ⋯ ≤ deg v n 으로 정렬되어 있다고 가정 할 수 있습니다$G$$n$$V=\{v_1,\dots,v_n\}$$\deg v_1 \le \deg v_2 \le \cdots \le \deg v_n$. 다시 말해, 모든 그래프는 정점이 감소하지 않는 순서로 배열 된 것과 동형이다. 따라서이 속성이있는 인접 행렬 만 열거하면됩니다. 나는 거기에 같은 인접 행렬들은 정확히 얼마나 많은 모르겠지만,은 많은 미만 , 그들은 훨씬보다 더 적은으로 열거 할 수 2 N ( N - 1 ) / 2 단계 계산. 그러나 이것은 여전히 ​​많은 중복성을 남깁니다. 많은 동 형사상 클래스는 여전히 여러 번 다루어 질 것이므로 이것이 최적이라고는 생각하지 않습니다.$2^{n(n-1)/2}$$2^{n(n-1)/2}$

더 잘할 수 있을까요? 만약 내가 제대로 이해하고, 약이있다 비 등방성 그래프의 등가 클래스. 위의 알고리즘보다 실행 시간이 더 좋은 알고리즘을 찾을 수 있습니까? 우리는 ~ 2 n ( n - 1 ) / 2 / n에 얼마나 가까이 갈 수 있습니까 ! 하한? 나는 주로 작은 n의 다루기 쉬움에 관심이 있습니다 (즉, n = 5 또는 n = $2^{n(n-1)/2}/n!$$\sim 2^{n(n-1)/2}/n!$$n$$n=5$$n=8$정도; 큰 에 대한 점증에 대해서는 그다지 중요하지 않습니다 .$n$

관련성 : 동등 하지 않은 이진 행렬 구성 (불행히도 올바른 답을 얻지 못한 것 같음 ).

작은 정점 수에 대한 모든 비 등방성 그래프를 열거하는 가장 쉬운 방법 은 Brendan McKay 's collection에서 다운로드하는 것입니다 . 열거 알고리즘은 McKay의 논문 [1]에 설명되어 있으며, 가능한 모든 방법으로 크기가 n-1 인 비동 형체를 확장하고 새로운 정점이 정식인지 확인하여 작동합니다. gengMcKay의 그래프 동형 검사기에서 와 같이 구현됩니다 nauty.

[1] : BD McKay, Labeled enumeration 기술 적용 , Congressus Numerantium, 40 (1983) 207-221.

세 번째 아이디어에 대한 개선을 제안합니다. 인접 행렬을 행 단위로 채우고 이전에 채워진 정점과의 정도 및 인접성과 관련하여 정점을 추적합니다. 따라서 초기에 등가 클래스는 같은 정도의 모든 노드로 구성됩니다.
새로 채워진 정점이 동등한 노드 중 일부에만 인접 할 경우, 선택시 같은 isomrphism 클래스의 표현자가 나타납니다. 따라서 현재 채워진 정점이 가장 높은 수의 정점에 인접하고 나머지 프로세스에 대해 동등성 클래스를 2로 분할하는 할당 만 고려합니다.

나는이 접근법이 대한 모든 동 형사상을 포괄한다고 생각한다 . 큰 그래프를 들어, 우리는 가장자리 서브 그래프에 있다는 사실에 기초 isomorphisms를 얻을 수있다 ( 1 , 2 ) 및 ( 3 , 4 ) 않음 (기타), 우리는 정점 동일한 두 그룹을 가지고 있지만, 그 추적되지 접근. (물론 확장 될 수는 있지만 n = 6 만 목표로한다면 노력할 가치가 있다고 의심합니다 .)$n<6$
$(1,2)$$(3,4)$$n=6$

이 알고리즘의 순진한 구현은 데드 엔드 (dead end)로 진행되며, 주어진 정도 및 이전 할당에 따라 인접 행렬을 채울 수 없습니다. 이를 조기에 감지 / 필터링하는 것이 좋습니다. 몇 가지 아이디어 :

• 도의 합이 홀수이면 결코 그래프를 형성하지 않습니다.
• 나머지 정점의 전부 / 없음에 즉시 연결해야하는 정점에 대한 항목을 채 웁니다.

이 논문은 흥미로울 것입니다.

"간결한 그래프 표현", Gyorgy Turan, 이산 응용 수학, 8 권, 3 호, 1984 년 7 월, 289-294 http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0166218X84901264

"일반 레이블이없는 그래프의 간결한 표현", Moni Naor, 이산 응용 수학, 제 28 권, 제 3 권, 1990 년 9 월, pp. 303-307 http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0166218X9090011Z

그것들은 정점 레이블이 붙은 그래프를 인코딩하기위한 인코딩 및 디코딩 기능을 제공하여, 하나의 결과가 다른 하나의 정점 레이블을 치환함으로써 발생하는 경우에만 그러한 두 개의 그래프가 동일한 코드 워드에 매핑된다.

또한, 인코딩 및 디코딩 기능이 효율적이라는 것이 입증되었다.

첫 번째 논문은 평면 그래프를 다룹니다. 두 번째 논문에서는 평면성 제한이 제거되었습니다.

편집 :이 백서는 관련이있을 수 있습니다 :

준 다항식 시간의 그래프 동형, 라 슬로 바바이, 시카고 대학, arXiv에 프리 프레스 년 12 월 9 일 2015 http://arxiv.org/pdf/1512.03547v1.pdf

그의 결과에 대한 Babai의 발표는 다음과 같은 뉴스를 만들었습니다 : https://www.sciencenews.org/article/new-algorithm-cracks-graph-problem

그러나 아마도 OP 질문을이 세 가지 논문과 혼동하는 것으로 잘못 생각했을까요? OP는 비 등방성 그래프를 열거하고자하지만, 두 그래프가 동형 일 때를 결정하는 효율적인 방법을 갖는 것이 여전히 도움이 될 수 있습니다.

90 년대 초의이 질문에 대해 정확히 다루는 논문이 있습니다.

Leslie Goldberg의 레이블이없는 그래프를 나열하기위한 효율적인 알고리즘 .

이 방법은 각 동 형사상 클래스의 정확히 하나의 대표자가 열거되고 두 개의 후속 그래프 생성 사이에 다항식 지연 만 있음을 보장합니다.

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