실수로 복잡한 클래스가 있습니까?

최근에 한 학생이 NP 경도 증거를 확인하도록 요청했습니다. 그들은 다음 라인을 따라 축소를 수행했습니다.

내 문제 에 대해 NP- 완전으로 알려진 이 문제 줄입니다 (폴리 타임 다 대일 감소로) 는 NP-hard입니다.$P'$$P$$P$

내 대답은 기본적으로 다음과 같습니다.

이후 의 값을 가진 경우가 당신이 감소를 건너 뛸 수 있도록이 하찮게 튜링 계산할 수 없습니다.$P$$\mathbb{R}$

공식적으로는 사실이지만, 나는이 접근법이 통찰력이 없다고 생각합니다. 우리는 실제 의사 결정 (또는 최적화) 문제의 "내재적 복잡성"을 포착하여 실제 문제를 처리 할 때 직면하는 한계를 무시하고 싶습니다. 번호; 이 문제를 조사하는 것은 또 다른 하루입니다.

물론 "별도의 Subset Sum 버전은 NP-complete이므로 연속 버전도 'NP-hard'입니다."라고 말하는 것만 큼 쉬운 것은 아닙니다. 이 경우 축소는 쉽지만 선형 버전과 정수 프로그래밍과 같이 연속 버전이 더 쉬운 유명한 사례가 있습니다.

RAM 모델이 자연스럽게 실수로 확장되는 것은 나에게 일어났다. 모든 레지스터에 실수를 저장하고 그에 따라 기본 작업을 확장하십시오. 어쨌든 불연속적인 경우와 마찬가지로 균일 한 비용 모델은 여전히 ​​의미가 있지만 대수 모델은 그렇지 않습니다.

그래서 내 질문은 다음과 같이 요약됩니다. 실제 가치 문제의 복잡성에 대한 개념이 확립되어 있습니까? "표준"이산 수업과 어떤 관련이 있습니까?

^{Google 검색은 예를 들어 this 와 같은 몇 가지 결과를 산출 하지만, 무엇이 확립되고 /거나 유용하며 무엇이 그렇지 않은지를 말할 방법이 없습니다.}

예. 있습니다.

다른 답변에서 언급 한 실제 RAM / BSS 모델이 있습니다. 이 모델에는 몇 가지 문제가 있으며 AFAIK에는 그다지 많은 연구 활동이 없습니다. 논란의 여지가 있지만 이는 실제 계산 모델이 아닙니다 .

실제 계산 가능성에 대한보다 적극적인 개념은 더 높은 유형의 계산 모델입니다. 기본 개념은 상위 유형 함수에 대한 복잡성을 정의한 다음 상위 유형 함수를 사용하여 실수를 나타내는 것입니다.

더 높은 유형의 함수의 복잡성에 대한 연구는 적어도 [1]로 거슬러 올라갑니다. 최근 작업 확인을 위해 실제 운영자의 복잡성에 대한 Akitoshi Kawamura 논문을 확인하십시오 .

실제 함수의 복잡성에 대한 고전적인 참고 문헌은 Ker-I Ko 's book [2]입니다. Klause Weihrauch [3]의 최근 책 6 장에서는 실제 계산의 복잡성에 대해 설명하지만 복잡성보다는 계산에 중점을 둡니다.

• [1] Stephen Cook과 Bruce Kapron, "유한 유형의 기본 가능한 기능의 특성", 1990.

• [2] Ko-I Ko, "실제 함수의 계산 복잡성", 1991.

• Klaus Weihrauch의 "계산 가능한 분석", 2000.

설명하는 모델을 BSS (Blum-Shub-Smale) 모델 (실제 RAM 모델)이라고하며 실제로 복잡도 클래스를 정의하는 데 사용됩니다.

이 영역에서 흥미로운 문제는 클래스 , N P R 이며 물론 P R = N P R 인지에 대한 문제입니다 . 함으로써 P R 우리는 문제가 다항식 decidable 의미 N P R은 문제가 검증 다항식이다. 등급 N P R 에 대한 경도 / 완전성 질문이 있습니다 . N P R 완전 문제 의 예 는 입력이 실수 다항식 인 Q P S 의 2 차 다항식 문제입니다 .$P_R$$NP_R$$P_R$$NP_R$$P_R$$NP_R$$NP_R$$NP_R$$QPS$ 변수, P 1 , . . . , P N ⊆ R [ X 1 , . . . , X N ] 2 이하인 정도, 각 다항식의 가장 3 개 변수를 갖는다. 질문 공통 실제 솔루션 존재하는지 R의 N 등, 즉 P (1) ( ) , P 2 ( ) , . . . p n ( a ) = $m$$p_1, ..., p_n$ $\subseteq$ $R[x_1, ..., x_n]$$R^n$$p_1(a), p_2(a), ... p_n(a) = 0$. 이것은 완료 문제입니다.$NP_R$

그러나 더 흥미롭게도 , (Probalistically Checkable Proofs), Reals, 즉 P C P R 클래스 와의 관계와 그것이 대수 계산 모델과 어떻게 관련되는지에 대한 연구가있었습니다 . BSS 모델 은 실수를 통해 모든 N P로 이동합니다. 이것은 문헌의 표준이며, 오늘날 우리가 알고있는 것은 N P R 에 "투명한 긴 증거"와 "투명한 짧은 증거"가 있다는 것입니다. "투명한 긴 증거"는 다음을 의미합니다. N P R 은 P C P R에 포함됩니다 ( p o l $PCP$$PCP_R$$NP$$NP_R$$NP_R$ . "거의 (대략적인) 짧은 버전"도 마찬가지라는 확장도 있습니다. n 보다 훨씬 적은 (실제) 구성 요소를 검사하여 증거를 안정화하고 결함을 감지 할 수있습니까? 이것은 직선 프로그램에 의해 주어진 (단일 시스템의) 다변량 다항식에 대한 0의 존재에 관한 질문으로 이어집니다. 또한 "투명한 긴 증거"라는 의미는$PCP_R(poly, O(1))$$n$

1. "투명" 만 읽을 수 있습니다.$O(1)$

2. long-초 다항식 수의 실제 구성 요소.

증명은 묶여 있으며 실제 가치 문제를 보는 한 가지 방법은 그것이 부분 집합 합과 어떻게 관련이 있는지입니다. 실제 가치 문제에 대한 근사 알고리즘조차도 최적화와 마찬가지로 흥미로울 것입니다-선형 프로그래밍 클래스에 F P ,하지만 네, approximatability이의 경우에 완전성 / 경도에 영향을 줄 수있는 방식을 볼 수 재미있을 것 N P R의 문제. 또한, 또 다른 질문은 N P R = c o - N P R ? $3SAT$$FP$$NP_R$$NP_R$ $=$ $co\text{-}NP_R$

클래스 생각하면서 , 다항식 산술에 대한 추론을 허용하도록 정의 된 카운팅 클래스가 있습니다. 반면 #의 P는 함수의 클래스는 f를 통해 정의 된 { 0 , 1 } ∞ → N이 되는 기계 튜링 다항식 시간이 존재 M 과 다항식 P 속성이 함께 ∀ N ∈ N 및 X를 ∈ { 0 , 1 } n , f ( x $NP_R$$\#P$$f$$\{0,1\}^\infty$ $\rightarrow$ $\mathbb{N}$$M$$p$$\forall n$$\in$$\mathbb{N}$$x$$\in$$\{0,1\}^{n}$$f(x)$튜링 머신 M 이 { x , y }를 허용 하는 문자열 { 0 , 1 } p ( n ) 의 개수를 계산합니다 . 실수를 위해 우리는이 아이디어를 확장합니다. 가산과 곱셈 (나눗셈, 빼기 없음) 만하는 가산 BSS 기계가 있습니다. 가산 BSS 기계 (계산중인 노드 만 가산 및 곱셈 만 허용)를 사용하면 # P에 대한 모델 이 가산 BSS 기계가 허용하는 벡터를 초과하는 모델 이됩니다. 따라서 계산 클래스는 # P a d $y \in$$\{0,1\}^{p(n)}$$M$$\{x,y\}$$\# P$$\#P_{add}$ 이 수업은 Betti 수와 오일러 특성 연구에 유용합니다.