다른 스틱에서 동일한 스틱 절단

당신은 반드시 통합하지 임의의 길이의 스틱.$n$

일부 막대기를 자르면 (한 컷은 하나의 막대기를 자르지 만 원하는만큼 자주자를 수 있습니다), 다음 과 같은 막대기 를 얻으려고 합니다.$k<n$

• 이 모든 스틱의 길이는 같습니다.$k$
• 모든 스틱은 다른 스틱보다 길다.$k$

컷 을 수행 한 후 스틱을 얻습니다 .$n + C$$C$

필요한 컷 수가 최소화되도록 어떤 알고리즘을 사용 하시겠습니까? 그리고 그 숫자는 무엇입니까?

예를 들어 및 . 다음과 같은 알고리즘을 사용할 수 있습니다., N ≥ $k=2$$n\geq 2$

• 과 같이 길이의 내림차순으로 스틱을 주문하십시오 .$L_1\geq L_2 \geq \ldots \geq L_n$
• 만약 $L_1\geq 2 L_2$ 다음 잘라 스틱 # 1 개의 동일한 조각. 길이 의 두 개의 스틱 $L_1 / 2$이 있으며, 최소한 나머지 스틱 만큼 깁니다 $2 \ldots n$.
• 그렇지 않으면 ( $L_1 < 2 L_2$ ), 스틱 # 1을 크기가 다른 두 개의 $L_2$ 및 조각으로 자릅니다 $L_1-L_2$. 길이가 $L_2$ 인 두 개의 스틱이 있는데 , 이는 보다 길고 $L_1-L_2$다른 스틱은 $3 \ldots n$ 입니다.

두 경우 모두 단일 컷으로 충분합니다.

나는 이것을 더 큰 로 일반화하려고 시도했지만 $k$고려해야 할 많은 사례가있는 것 같습니다. 당신은 우아한 해결책을 찾을 수 있습니까?

이 문제를 해결하기위한 제 1 코어 관찰된다는 절단 길이의 타당성 ,$l$

,$\qquad\displaystyle \operatorname{Feasible}(l) = \biggl[\, \sum_{i=1}^n \Bigl\lfloor\frac{L_i}{l} \Bigr\rfloor \geq k \,\biggr]$

로 상수, 왼쪽 연속 및 비 증가입니다 . 필요한 절단 횟수가 비슷하게 동작하므로 최적의 길이를 찾는 것은$l$

$\qquad\displaystyle l^{\star} = \max \{ l \mid \operatorname{Feasible}(l) \}$

또한 다른 답변이 제안 모든 점프 불연속은 형식 입니다. 이로 인해 유한 한 후보 집합을 정렬 한 후 이진 검색에 적합한 불연속 1 차원 검색 문제가 발생합니다.$L_i/j$

또한 가장 큰 보다 짧은 만 고려하면 점에 하십시오 .$L_i$$k$

그런 다음 다른 경계 는 다른 효율의 알고리즘으로 이어집니다.$j$

• $1 \leq j \leq k$ 는 2 차 크기 ( ) 의 검색 공간을 생성합니다 .$k$
• L $1 \leq j \leq \lceil k/i \rceil$ 선형 선형으로 ( 가 크기를 줄이면 정렬 된다고 가정)에서$L_i$
• 선형으로 약간 더 많은 범위를 포함합니다.

이를 사용하여 제안 된 문제를 시간 및 공간 에서 해결할 수 있습니다 .Θ ( n + k $\Theta(n + k \log k)$$\Theta(n + k)$

하나 개의 상기 관찰의 합이다 에서 성장 로 각 후보 중복 계산 "통과". 이를 사용하여 이진 검색 대신 순위 선택을 사용하고 시간 및 공간 에서 실행되는 알고리즘을 얻을 수 있으며 이는 최적입니다. l 1 L i / j Θ ( n $\mathrm{Feasible}$$l$$1$$L_i/j$$\Theta(n)$

Fewest Cuts가있는 Envy-Free Stick Division의 효율적인 알고리즘 (Reitzig and Wild, 2015) 에서 자세한 내용을 확인하십시오 .

@randomA가 제안한 바와 같이, 우리는 두 단계로 진행할 것입니다. 먼저 절단 할 스틱 세트를 찾은 다음 절단 수를 최소화합니다.

문제의 특별한 경우와 마찬가지로 스틱을 정렬 / 이름 지정하여 합니다. 이것은 O ( n log n ) 시간 이 걸립니다 .$L_1 \ge L_2 \ge \dots \ge L_n$$O(n\log n)$

@ user1990169가 지적했듯이, 우리는 조각을자를 필요가 없습니다 .$i\ge k$

첫 번째 단계에서는 번호 찾기 위해 이진 검색을 사용하는 , 1 ≤ S ≤ K 때문에 스틱 것을 1 , ... , S는 로 될 수 컷 적어도 K의 크기의 조각 L S (및 약간의 작은 조각들)이지만 스틱 1 , … , s - 1 은 크기 L s - 1 의 k 조각 으로 절단 할 수 없습니다 . 이것은 O ( k log k ) 시간이 걸립니다.$s$$1\le s \le k$$1, \dotsc, s$$k$$L_s$$1, \dotsc, s-1$$k$$L_{s-1}$$O(k\log k)$

경우 ,이 값은 최적의 크기이고 우리는 두 단계를 건너 뛸 수있다.$L_{s-1} = L_s$

그렇지 않으면 최적의 크기 가 L s - 1 > o ≥ L s를 충족 하고 o > L s 이면 o 중 하나 이상을 같은 크기의 조각으로 자르면 발생합니다. 2 단계는 o 를 결정합니다 .$o$$L_{s-1} > o \ge L_s$$o > L_s$$o$$o$

각 스틱 , 1 ≤ i ≤ s 에 대해 다음과 같이 후보 크기 세트를 결정하십시오. 크기 L s 로 자르면 스틱이 r i 피스 (더 짧은 경우 포함) 를 켭니다. 스틱은 모든 값 L $i$$1\le i \le s$$L_s$$r_i$ , 여기서J≤RI및L에서$\frac{L_i}j$$j\le r_i$입니다. (이들이 유일한 후보 크기 인 이유는@ user1990169의 답변을참조하십시오.)$\frac{L_i}j<L_{s-1}$

각 후보 크기마다 발생 빈도를 유지하십시오. 균형 검색 트리를 사용하면 후보 크기의 총 개수가 ∑ i r i ≤ 2 k로 제한되므로 로 수행 할 수 있습니다 .$O(k\log k)$$\sum_i r_i \le 2k$

이제 가장 자주 발생하고 유효한 절단으로 이끄는 후보 크기는 최적의 솔루션을 제공하는 크기입니다. 또한, 후보 크기가 유효한 절단으로 이어지는 경우, 작은 크기도 유효한 절단으로 이어집니다.

우리가 다시 가장 큰 후보 길이를 찾기 위해 이진 검색을 사용할 수 있다는 점에서 유효한 절단에 리드 . 그런 다음이 임계 값까지 후보 길이 집합을 반복하고 O ( k ) 에서 가장 큰 수를 갖는 것을 찾습니다 .$O(k\log k)$$O(k)$

초기 정렬을 무시하거나 수행 할 필요가없는 경우 총 런타임은 또는 O ( k log k ) 로 표시됩니다.$O(n\log n)$$O(k\log k)$

당신이 그들의 길이의 내림차순으로 스틱을 주문한 후, 다음 막대기 단지 모든 경우 스틱 절단되어야 L 1 , L 2 , . . . L i - 1 이 절단되었습니다.$L_i$$L_1, L_2, ... L_{i-1}$

이제 이기 때문에 , 우리는 막대기 L k를 앞으로 자르지 않을 것입니다. 우리는 항상 길이가 L k 인 k 개의 막대기를 가질 수 있기 때문 입니다.$k < n$$L_{k}$$k$$L_{k}$

그래서 지금 대신 , 우리는 다루고있는 K - 1 개 스틱 (아마도 추가 K , 최악의 경우에 요구해야한다 상처의 최대 수를 전체 번째 스틱) = K - 1 .$n$$k-1$$k$$= k-1$

상처의 최적의 개수 인 경우에도, , 그 다음 그 중에서 스틱 중 적어도 하나 개의 세트가된다 K - 1 개 1 개 원래 스틱에서 전체적으로 수행된다 스틱$< k-1$$k-1$ (부품에 있거나, 1 개 조각)을 즉, 원래 스틱의 어떤 부분도 '깨지지 않은'상태로 두지 않아야합니다. 이는 비둘기 구멍 원리에 의해 유효한 스틱을 1 개 이상 생산해야하는 컷이 1 개 이상 있어야하기 때문입니다.

그런 다음 두 개의 중첩 된 for 루프를 수행 할 수 있습니다 (둘 다 까지 ). 외부 루프는 스틱 번호 나타낸다한다 난 그 모든 부분이 취해질 및 내부 루프는 부품의 개수 나타낸다한다 J 그 스틱 제조한다. 각 크기를 들면 L의 $k$$i$$j$
스틱L1을순차적으로절단하여 실행 가능한 k 스틱을 얻을 수 있는지 확인하고 가능하면 현재 필요한 수가 적 으면 지금까지 필요한 최소 컷을 업데이트하십시오.$\frac{L_i}{j}$$L_1$

위 알고리즘의 총 복잡도는 $O(nlog(n) + k^3)$

높은 수준의 아이디어는 이진 검색입니다.

요청 된 k 개의 스틱 각각의 크기는 적어도 가장 작은 스틱이자 최대의 스틱이 될 것입니다. 이 때문에, 우리는 중간 스틱의 크기에 이진 검색을 사용하여 진행 무슨 수를 참조 이 있다면, 우리가 얻을 수 k는 ' 더 주어보다 K 우리가 새로운 참조 후보 크기를 선택해야합니다 알고 다음. 따라서 새로운 기준 스틱을 사용하여 더 크거나 작게 이동합니다. k ' 가 k 보다 작을 때 우리는 멈춘다$k'$$k'$$k$$k'$$k$

적절한 참조 스틱을 찾으면 크기를 더 세분화해야하는 코너 케이스가 있습니다. 모든 컷 스틱을 컷 수와 스틱 크기로 정렬 할 수 있습니다. 최소 컷 수와 최소 크기를 가진 것을 선택하십시오. 이 스틱의 절단 횟수를 1 씩 줄이고 이의 모든 하위 스틱을 같은 크기로 만드십시오. 이것이 새로운 참조 크기가 될 것입니다.이 새로운 크기가 수용 가능한 이어지는 지 확인하십시오 . 나는이 경우에 러닝 타임을 묶는 방법을 모른다는 것을 인정한다.$k'$

바라건대, 나는 다른 답변에서 유용한 것을 볼 수 있습니다.